Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 4 - Thanh Hóa

a) Sai. \(\cos 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 2x=\cos \left( \frac{2\pi }{3} \right)\).

b) Đúng. \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).

\(0 < x < \pi  \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi }\\{0 <  - \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3}}\\{x = \frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \(\frac{{2\pi }}{3} > \frac{\pi }{3}\) nên phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất trong khoảng  là .

c) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là: $S=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\pi $.

d) Sai. Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình (*) có 2 nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3}\) và \(x = \frac{{2\pi }}{3}\).

Đặt \(g'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} \right)f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} \right) = 0\\f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\\frac{{{x^2} + 1}}{x} = a\,\,\left( {a <  - 2} \right)\\\frac{{{x^2} + 1}}{x} = b\,\,\left( { - 2 < b < 2} \right)\\\frac{{{x^2} + 1}}{x} = c\,\,\left( {c > 2} \right)\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\): \(h'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\):

Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình $h\left( x \right)=a,h\left( x \right)=c$, mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \( \pm 1\), mà \(a \ne c\) \( \Rightarrow f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right) = 0\) có 4 nghiệm đơn phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) khác \( \pm 1\) và phương trình \(h\left( x \right) = b\) vô nghiệm.

Do đó phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là \({x_1}, - 1,{x_2},{x_3},1,{x_4}\).

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)\) có 6 cực trị.