-
Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán
-
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 Sở GD Hà Tĩnh
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 1 năm 2025 cụm các trường số 4 - Hải Dương
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Phú Thọ
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 4 - Thanh Hóa
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 Sở GD Quảng Bình
- Đề KSCL Toán 11 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Hà Nội
- Đề KSCL Toán 12 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Hà Nội
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường Lê Thánh Tông - TP HCM
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường THPT Cửa Lò - Nghệ An
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
-
Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 1
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 2
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 3
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 4
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 5
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 6
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 7
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 8
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 9
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 10
Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
Đề bài
Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{3} = 10$ và công bội q = -2. Giá trị của $u_{2}$ bằng
-
A.
5.
-
B.
-20.
-
C.
-5.
-
D.
8.
Nghiệm của phương trình $5^{x - 1} = 7$ là
-
A.
$x = 1 + \log_{5}7$.
-
B.
$x = 1 - \log_{5}7$.
-
C.
$x = - 1 + \log_{5}7$.
-
D.
$x = \dfrac{1}{\log_{5}7}$.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (minh hoạ như hình bên dưới).
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc nào sau đây?
-
A.
$\widehat{SBA}$.
-
B.
$\widehat{ABC}$.
-
C.
$\widehat{SBC}$.
-
D.
$\widehat{SCB}$.
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 10 viên bi gồm 6 bi xanh và 4 bi đỏ, xác suất chọn được 3 viên bi màu xanh là
-
A.
$\dfrac{2}{5}$.
-
B.
$\dfrac{1}{5}$.
-
C.
$\dfrac{2}{15}$.
-
D.
$\dfrac{1}{6}$.
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4^{x}$ là
-
A.
$F(x) = \dfrac{4^{x}}{2\text{ln}2} + C$.
-
B.
$F(x) = 4^{x} \cdot \text{ln}4 + C$.
-
C.
$F(x) = \dfrac{4^{x + 1}}{x + 1} + C$.
-
D.
$F(x) = 4^{x} + C$.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có bảng biến thiên như hình sau:
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
A.
(-2; 1).
-
B.
(-1; 1).
-
C.
(-4; 0).
-
D.
$\left( {- \infty\,; - 1} \right)$.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = - 2x - 8 + \dfrac{3}{4x - 9}$ là đường thẳng có phương trình
-
A.
y = 4x – 9.
-
B.
y = -2x + 8.
-
C.
y = 2x + 8.
-
D.
y = -2x – 8.
-
A.
$\overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{A'D'}$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{CD}$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{B'D'}$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{AA'} = \overset{\rightarrow}{B'B}$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; -2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
-
A.
(2; -2; 0).
-
B.
(2; 0; 1).
-
C.
(0; -2; 1).
-
D.
(0; 0; 1).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-5; 2; 3) và B là điểm đối xứng với A qua trục Oy. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
-
A.
$\sqrt{34}$.
-
B.
$2\sqrt{38}$.
-
C.
$2\sqrt{34}$.
-
D.
$\sqrt{38}$.
Cho bảng thống kê đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau.
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
-
A.
25.
-
B.
30.
-
C.
6.
-
D.
69,8.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi và số người dự thi như sau:
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
-
A.
2,55.
-
B.
2,77.
-
C.
2,39.
-
D.
1,44.
Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x + 2$ có đồ thị là (C).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^{2} - 3$.
b) Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$ bằng -1.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty} \right)$.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng $2\sqrt{5}$.
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho trước, trong đó xem mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ O phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500; 200; 10) đến điểm N(300; 800; 10) trong 40 phút.
a) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.
b) Khoảng cách $MN = 200\sqrt{10}$ km.
c) Góc $\widehat{MON}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $\widehat{MON}$ lớn hơn $45^{o}$.
d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là Q(a; b; c) với a + b + c = 1030.
Xét hàm số f(x) x + sinx trên $\mathbb{R}$.
a) Đạo hàm của hàm số f(x) là $f'(x) = 1 - \cos x$.
b) Hàm số $F(x) = \dfrac{x^{2}}{2} - \cos x - 2$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).
c) ${\int{f(x)\text{d}x = \dfrac{x^{2}}{2}}} - \cos x + C$.
d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn G(0) = 1. Khi đó $G(\pi) = \dfrac{\pi^{2}}{2} + 3$.
Hai xạ thủ mỗi người một viên đạn bắn vào bia với xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9 và của người thứ hai là 0,75. Biết rằng kết quả bắn trúng hoặc không trúng bia của hai xạ thủ là độc lập với nhau.
a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 10%.
b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là 67%.
c) Xác suất có đúng 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3.
d) Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 95,7%.
Một ngôi nhà có cấu trúc và một số kích thước được mô tả như như hình bên: Phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật với một mặt bên là BCHK phần trên có dạng hình lăng trụ đứng có một đáy là ABC, HE = 12 m, HK = 10 m, HC = 5 m. Biết rằng AB = AC và góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $120^{o}$. Thể tích của ngôi nhà, không tính phần mái đưa ra là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét khối)?
Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = - t^{3} + 18t^{2} + 2t$, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu (m/s)?
Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Gọi p là xác suất khi thí sinh đó có kết quả 20 điểm. Giá trị của 100p bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí A(4; 2; 1) đến vị trí $B\left( {- 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$ với vận tốc 80 km/h theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Một tập đoàn năng lượng cần xây dựng tuyến ống dẫn dầu cỡ lớn chạy theo một đường thẳng dài 720km để dẫn dầu đi qua một vùng hoang mạc rộng lớn. Hai trạm bơm công suất lớn ở hai đầu tuyến đã xây xong, phần việc còn lại là:
+) Lắp đặt ống dẫn dầu giữa hai trạm bơm công suất lớn đã có.
+) Xây thêm một số trạm bơm tăng áp nằm trên tuyến ống dẫn để tăng hiệu quả dẫn dầu sao cho các trạm bơm tăng áp này chia toàn bộ tuyến ống dẫn dầu thành các đoạn có độ dài bằng nhau.
Đơn vị thiết kế lập dự toán phần việc còn lại như sau:
+) Chi phí xây 1 trạm bơm tăng áp là 108 (triệu đồng).
+) Chi phí xây đoạn ống dẫn dầu nối giữa hai trạm bơm kề nhau với khoảng cách x km là $x\left( {2 + \sqrt{x}} \right)$ (triệu đồng).
Hỏi cần xây thêm bao nhiêu trạm bơm tăng áp để tổng chi phí phần việc còn lại theo dự toán như trên là nhỏ nhất? Coi kích thước của các trạm bơm tăng áp là không đáng kể so với chiều dài toàn tuyến ống dẫn dầu.
Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu lần lượt là $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ và 10 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh đó thành một hàng ngang sao cho nếu tính từ trái sang phải thì các học sinh nữ có chiều cao tăng dần, các học sinh nam cũng có chiều cao tăng dần; giữa học sinh $G_{1}$ và $G_{2}$ có ít nhất 2 học sinh nam, giữa học sinh $G_{4}$ và $G_{5}$ có ít nhất 1 học sinh nam và nhiều nhất 4 học sinh nam?
Lời giải và đáp án
Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{3} = 10$ và công bội q = -2. Giá trị của $u_{2}$ bằng
-
A.
5.
-
B.
-20.
-
C.
-5.
-
D.
8.
Đáp án : C
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_{n} = u_{1}q^{n - 1}$.
Ta có: $\left. u_{3} = u_{2}q\Leftrightarrow u_{2} = \dfrac{u_{3}}{q} = - 5 \right.$.
Nghiệm của phương trình $5^{x - 1} = 7$ là
-
A.
$x = 1 + \log_{5}7$.
-
B.
$x = 1 - \log_{5}7$.
-
C.
$x = - 1 + \log_{5}7$.
-
D.
$x = \dfrac{1}{\log_{5}7}$.
Đáp án : A
$\left. a^{f(x)} = b\Leftrightarrow f(x) = \log_{a}b \right.$.
Ta có $\left. 5^{x - 1} = 7\Leftrightarrow x - 1 = \log_{5}7\Leftrightarrow x = 1 + \log_{5}7 \right.$.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (minh hoạ như hình bên dưới).
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc nào sau đây?
-
A.
$\widehat{SBA}$.
-
B.
$\widehat{ABC}$.
-
C.
$\widehat{SBC}$.
-
D.
$\widehat{SCB}$.
Đáp án : A
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó lên (P).
Ta có $SA\bot\left( {ABC} \right)\left. \Rightarrow\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat{\text{S}BA} \right.$.
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 10 viên bi gồm 6 bi xanh và 4 bi đỏ, xác suất chọn được 3 viên bi màu xanh là
-
A.
$\dfrac{2}{5}$.
-
B.
$\dfrac{1}{5}$.
-
C.
$\dfrac{2}{15}$.
-
D.
$\dfrac{1}{6}$.
Đáp án : D
Áp dụng phương pháp tổ hợp.
Ta có $n(\Omega) = C_{10}^{3} = 120$.
Gọi A là biến cố 3 viên bi chọn được màu xanh $\left. \Rightarrow n(A) = C_{6}^{3} = 20 \right.$.
$\left. \Rightarrow P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6} \right.$.
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4^{x}$ là
-
A.
$F(x) = \dfrac{4^{x}}{2\text{ln}2} + C$.
-
B.
$F(x) = 4^{x} \cdot \text{ln}4 + C$.
-
C.
$F(x) = \dfrac{4^{x + 1}}{x + 1} + C$.
-
D.
$F(x) = 4^{x} + C$.
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: ${\int{a^{x}dx}} = \dfrac{a^{x}}{\ln a} + C$.
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4^{x}$ là $F(x) = \dfrac{4^{x}}{\text{ln4}} + C = \dfrac{4^{x}}{\text{2ln2}} + C$.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có bảng biến thiên như hình sau:
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
A.
(-2; 1).
-
B.
(-1; 1).
-
C.
(-4; 0).
-
D.
$\left( {- \infty\,; - 1} \right)$.
Đáp án : B
Hàm số đồng biến trên khoảng y’ > 0.
Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 1).
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = - 2x - 8 + \dfrac{3}{4x - 9}$ là đường thẳng có phương trình
-
A.
y = 4x – 9.
-
B.
y = -2x + 8.
-
C.
y = 2x + 8.
-
D.
y = -2x – 8.
Đáp án : D
Đường thẳng y = ax + b \((a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).
$y = - 2x - 8 + \dfrac{3}{4x - 9}$; $\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left\lbrack {y - \left( {- 2x - 8} \right)} \right\rbrack = \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\dfrac{3}{4x - 9} = 0$.
Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = - 2x - 8 + \dfrac{3}{4x - 9}$ là đường thẳng có phương trình y = -2x – 8.
-
A.
$\overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{A'D'}$.
-
B.
$\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{CD}$.
-
C.
$\overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{B'D'}$.
-
D.
$\overset{\rightarrow}{AA'} = \overset{\rightarrow}{B'B}$.
Đáp án : C
Hai vecto bằng nhau có cùng hướng và cùng độ dài.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; -2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
-
A.
(2; -2; 0).
-
B.
(2; 0; 1).
-
C.
(0; -2; 1).
-
D.
(0; 0; 1).
Đáp án : A
Hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên (Oxy) là M’(a; b; 0).
Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; -2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm H(2; -2; 0).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-5; 2; 3) và B là điểm đối xứng với A qua trục Oy. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
-
A.
$\sqrt{34}$.
-
B.
$2\sqrt{38}$.
-
C.
$2\sqrt{34}$.
-
D.
$\sqrt{38}$.
Đáp án : C
Điểm đối xứng của M(a; b; c) qua trục Oy là M’(-a; b; -c).
Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).
Vì B là điểm đối xứng với A qua trục Oy nên B(5; 2; -3).
Do đó $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {10\,;\, 0\,;\, - 6} \right)$.
Vậy $AB = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$.
Cho bảng thống kê đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau.
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
-
A.
25.
-
B.
30.
-
C.
6.
-
D.
69,8.
Đáp án : A
Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
R = 65 – 40 = 25.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi và số người dự thi như sau:
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
-
A.
2,55.
-
B.
2,77.
-
C.
2,39.
-
D.
1,44.
Đáp án : C
* Phương sai:
- Công thức 1: \({S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\).
- Công thức 2: \({S^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{c_1}^2 + {n_2}{c_2}^2 + ... + {n_k}{c_k}^2} \right) - {\overline x ^2}\).
Trong đó: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu; \(\overline x = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}} \right)\) là số trung bình.
* Độ lệch chuẩn: \(S = \sqrt {{S^2}} \).
Các giá trị đại diện của mẫu số liệu là: 1; 3; 5; 7; 9.
Tổng tần số là: n = 40.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \dfrac{1.19 + 3.9 + 5.5 + 7.6 + 9.1}{40} = 3,05$.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$S^{2} = \dfrac{1}{40}\left( {1.19^{2} + 3.9^{2} + 5.5^{2} + 7.6^{2} + 9.1^{2}} \right) - 3,05^{2} = 5,70$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$S = \sqrt{5,70} = 2,39$.
Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x + 2$ có đồ thị là (C).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^{2} - 3$.
b) Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$ bằng -1.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty} \right)$.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng $2\sqrt{5}$.
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^{2} - 3$.
b) Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$ bằng -1.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty} \right)$.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng $2\sqrt{5}$.
Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên khảo sát hàm số.
a) Đúng. $f'(x) = 3x^{2} - 3$.
b) Sai. $\left. f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0\Leftrightarrow x = \pm 1 \right.$. Bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$ bằng 4.
c) Đúng. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty} \right)$.
d) Đúng. Hai điểm cực trị là $\left. A( - 1;4),B(1;0)\Rightarrow AB = 2\sqrt{5} \right.$.
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho trước, trong đó xem mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ O phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500; 200; 10) đến điểm N(300; 800; 10) trong 40 phút.
a) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.
b) Khoảng cách $MN = 200\sqrt{10}$ km.
c) Góc $\widehat{MON}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $\widehat{MON}$ lớn hơn $45^{o}$.
d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là Q(a; b; c) với a + b + c = 1030.
a) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.
b) Khoảng cách $MN = 200\sqrt{10}$ km.
c) Góc $\widehat{MON}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $\widehat{MON}$ lớn hơn $45^{o}$.
d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là Q(a; b; c) với a + b + c = 1030.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.
a) Đúng. Vì cao độ của M, N là z = 10.
b) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{MN}( - 200;600;0)$, nên $MN = \sqrt{{( - 200)}^{2} + 600^{2}} = 200\sqrt{10}$.
c) Đúng. Ta có: $\cos\widehat{MON} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{OM}.\overset{\rightarrow}{ON}}{OM.ON}$
$= \dfrac{500.300 + 200.800 + 10.10}{\sqrt{500^{2} + 200^{2} + 10^{2}}.\sqrt{300^{2} + 800^{2} + 10^{2}}} \approx 0,67 < \cos 45^{o}$ do đó $\widehat{MON} > 45^{o}$.
d) Sai. Nếu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo là Q(a; b; c) và có tỉ lệ $\left. \dfrac{MN}{NQ} = \dfrac{40}{8} = 5\Rightarrow MN = 5NQ\Rightarrow\overset{\rightarrow}{MN} = 5\overset{\rightarrow}{NQ} \right.$.
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a - 300 = \dfrac{1}{5}.( - 200)} \\ {b - 800 = \dfrac{1}{5}.600} \\ {c - 10 = \dfrac{1}{5}.0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 260} \\ {b = 920} \\ {c = 10} \end{array} \right.\Rightarrow Q(260;920;10) \right.$.
Vậy a + b + c = 260 + 920 + 10 = 1190.
Xét hàm số f(x) x + sinx trên $\mathbb{R}$.
a) Đạo hàm của hàm số f(x) là $f'(x) = 1 - \cos x$.
b) Hàm số $F(x) = \dfrac{x^{2}}{2} - \cos x - 2$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).
c) ${\int{f(x)\text{d}x = \dfrac{x^{2}}{2}}} - \cos x + C$.
d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn G(0) = 1. Khi đó $G(\pi) = \dfrac{\pi^{2}}{2} + 3$.
a) Đạo hàm của hàm số f(x) là $f'(x) = 1 - \cos x$.
b) Hàm số $F(x) = \dfrac{x^{2}}{2} - \cos x - 2$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).
c) ${\int{f(x)\text{d}x = \dfrac{x^{2}}{2}}} - \cos x + C$.
d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn G(0) = 1. Khi đó $G(\pi) = \dfrac{\pi^{2}}{2} + 3$.
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, nguyên hàm.
a) Sai. Ta có $f'(x) = 1 + \cos x$.
b) Đúng. Ta $F'(x) = \left( {\dfrac{x^{2}}{2} - \cos x - 2} \right)' = x + \sin x = f(x)$.
c) Đúng. Ta có: ${\int{f(x)dx = {\int\left( {x + \sin x} \right)}dx = \dfrac{x^{2}}{2}}} - \cos x + C$.
d) Đúng. Gọi G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì $G(x) = \dfrac{x^{2}}{2} - \cos x + C$.
Vì G(0) = 1 nên $\left. 0 - \cos 0 + C = 1\Rightarrow C = 2 \right.$. Vậy $G(\pi) = \dfrac{\pi^{2}}{2} - \cos\pi + 2 = \dfrac{\pi^{2}}{2} + 3$.
Hai xạ thủ mỗi người một viên đạn bắn vào bia với xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9 và của người thứ hai là 0,75. Biết rằng kết quả bắn trúng hoặc không trúng bia của hai xạ thủ là độc lập với nhau.
a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 10%.
b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là 67%.
c) Xác suất có đúng 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3.
d) Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 95,7%.
a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 10%.
b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là 67%.
c) Xác suất có đúng 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3.
d) Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 95,7%.
Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất, công thức tính xác suất của biến cố đối.
a) Đúng. Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 1 – 0,9 = 0,1 = 10%.
b) Sai. Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là P = 0,9 . 0,75 = 0,675 = 67,5%
c) Đúng. Xác xuất có đúng một viên đạn trúng bia là 0,9 . 0,25 + 0,1 . 0,75 = 0,3.
d) Sai. Có ít nhất một viên đạn trúng bia thì xảy ra 2 trường hợp:
- Có đúng 1 viên đạn trúng bia, xác suất là 0,3.
- Cả hai viên đạn đều trúng bia, xác suất là 0,675.
$\Rightarrow$ Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3 + 0,675 = 0,975 = 97,5%.
Một ngôi nhà có cấu trúc và một số kích thước được mô tả như như hình bên: Phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật với một mặt bên là BCHK phần trên có dạng hình lăng trụ đứng có một đáy là ABC, HE = 12 m, HK = 10 m, HC = 5 m. Biết rằng AB = AC và góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $120^{o}$. Thể tích của ngôi nhà, không tính phần mái đưa ra là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét khối)?
Coi ngôi nhà là hình lăng trụ với một trong hai đáy là mặt phẳng (ABKHC). Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = Bh, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của lăng trụ.
Góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $\widehat{BAC} = 120^{o}$.
Gọi N là hình chiếu vuông góc của A trên mặt nền nhà, M là giao điểm của BC và AN.
Ta có $\widehat{BAM} = 60^{o}$ và $\left. BM = 5\Rightarrow\tan\widehat{BAM} = \dfrac{BM}{AM} \right.$
$\left. \Rightarrow AM = \dfrac{BM}{\tan\widehat{BAM}} = \dfrac{5}{\tan 60^{o}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \right.$.
Thể tích của ngôi nhà là:
$V = S_{ABKHC} \cdot HE = \left( {5 \cdot 10 + \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{3}} \right) \cdot 12 \approx 773$ $\left( {~m^{3}} \right)$.
Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = - t^{3} + 18t^{2} + 2t$, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu (m/s)?
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số v(t) = s’(t) trên đoạn [0; 10].
Ta có: $v(t) = s'(t) = - 3t^{2} + 36t + 2$ với $t \in \left\lbrack {0;10} \right\rbrack$.
$v'(t) = - 6t + 36$; $\left. v'(t) = 0\Leftrightarrow t = 6 \right.$.
$v(0) = 2$; $v(10) = 62$; $v(6) = 110$.
Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 110 (m/s).
Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Gọi p là xác suất khi thí sinh đó có kết quả 20 điểm. Giá trị của 100p bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Áp dụng công thức nhân xác suất.
Gọi x, y là số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai.
Để thí sinh được 20 điểm thì $\left. \left\{ \begin{matrix} {4x - y = 20} \\ {x + y = 10} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 6} \\ {y = 4} \end{array} \right. \right.$.
Xác suất để thí sinh đó được 20 điểm là $\left. p = C_{10}^{6}\left( \dfrac{1}{4} \right)^{6}\left( \dfrac{3}{4} \right)^{4}\Rightarrow 100p \approx 1,62 \right.$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí A(4; 2; 1) đến vị trí $B\left( {- 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$ với vận tốc 80 km/h theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong không gian.
Nhận thấy $OA = \sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{21} \approx 4,582 > 3;$
$OB = \sqrt{{( - 1)}^{2} + \left( \dfrac{- 1}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{7}{2} \right)^{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3,67 > 3$.
Suy ra hai điểm A, B nằm ngoài tầm phát hiện của trạm theo dõi.
Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 5;\dfrac{- 5}{2};\dfrac{5}{2}} \right) = \dfrac{5}{2}\left( {- 2; - 1;1} \right) = \dfrac{5}{2}\overset{\rightarrow}{u}$.
Gọi M(x; y; z) là vị trí của của vệ tinh trên đoạn AB trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi.
Khi đó ta có $\overset{\rightarrow}{AM} = t\overset{\rightarrow}{u}$, với $\left. t > 0\Rightarrow M\left( {4 - 2t;2 - t;1 + t} \right) \right.$.
$\left. OM \leq 3\Leftrightarrow{(4 - 2t)}^{2} + {(2 - t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} \leq 9\Leftrightarrow 1 \leq t \leq 2. \right.$
Với $\left. t = 1\Rightarrow M_{1}(2;1;2) \right.$.
Với $\left. t = 2\Rightarrow M_{2}(0;0;3) \right.$.
Vậy vị trí đầu tiên vệ tinh bị theo dõi là $M_{1}(2;1;2)$ và vị trí cuối cùng trước khi ra khỏi phạm vi theo dõi là $M_{2}(0;0;3)$.
Ta có $M_{1}M_{2} = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ nên khoảng cách thực tế giữa $M_{1}$ và $M_{2}$ là $10\sqrt{6}$ km.
Suy ra thời gian vệ tinh bay trong vùng do thám là $t = \dfrac{10\sqrt{6}}{80}$ (giờ) $= \dfrac{10\sqrt{6}}{80}.60 \approx 18,4$ (phút).
Một tập đoàn năng lượng cần xây dựng tuyến ống dẫn dầu cỡ lớn chạy theo một đường thẳng dài 720km để dẫn dầu đi qua một vùng hoang mạc rộng lớn. Hai trạm bơm công suất lớn ở hai đầu tuyến đã xây xong, phần việc còn lại là:
+) Lắp đặt ống dẫn dầu giữa hai trạm bơm công suất lớn đã có.
+) Xây thêm một số trạm bơm tăng áp nằm trên tuyến ống dẫn để tăng hiệu quả dẫn dầu sao cho các trạm bơm tăng áp này chia toàn bộ tuyến ống dẫn dầu thành các đoạn có độ dài bằng nhau.
Đơn vị thiết kế lập dự toán phần việc còn lại như sau:
+) Chi phí xây 1 trạm bơm tăng áp là 108 (triệu đồng).
+) Chi phí xây đoạn ống dẫn dầu nối giữa hai trạm bơm kề nhau với khoảng cách x km là $x\left( {2 + \sqrt{x}} \right)$ (triệu đồng).
Hỏi cần xây thêm bao nhiêu trạm bơm tăng áp để tổng chi phí phần việc còn lại theo dự toán như trên là nhỏ nhất? Coi kích thước của các trạm bơm tăng áp là không đáng kể so với chiều dài toàn tuyến ống dẫn dầu.
Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n. Biểu diễn n và lập hàm chi phí theo x. Tìm x để hàm chi phí đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó tính n.
Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n.
Khi đó toàn tuyến được chia thành n + 1 đoạn bằng nhau, nên $\left. (n + 1)x = 720\Rightarrow n = \dfrac{720}{x} - 1. \right.$
Tổng chi phí gồm:
- Chi phí xây trạm tăng áp: 108n;
- Chi phí xây ống cho n + 1 đoạn: $(n + 1)(2 + \sqrt{x})x$.
Vậy $y = f(x) = 108n + (n + 1)(2 + \sqrt{x})x.$
Thay $n = \dfrac{720}{x} - 1$, ta được:
$f(x) = 108\left( {\dfrac{720}{x} - 1} \right) + \left( {\dfrac{720}{x} - 1 + 1} \right)(2 + \sqrt{x})x$
$= \dfrac{77760}{x} + 720\sqrt{x} + 1332$ với $0 < x \leq 720$.
Ta có: $f'(x) = - \dfrac{77760}{x^{2}} + 720 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = - \dfrac{77760}{x^{2}} + \dfrac{360}{\sqrt{x}}.$
Giải $f'(x) = 0$: $\left. - \dfrac{77760}{x^{2}} + \dfrac{360}{\sqrt{x}} = 0\Rightarrow\dfrac{360}{\sqrt{x}} = \dfrac{77760}{x^{2}}\Rightarrow 360x^{2} = 77760\sqrt{x} \right.$.
Chia hai vế cho $360\sqrt{x}$: $\left. x^{3/2} = 216\Rightarrow x = \sqrt[3]{216^{2}} = 36 \right.$.
Khi 0 < x < 36 thì f’(x) < 0, khi 36 < x < 720 thì f’(x) > 0, nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 36.
Khi đó $n = \dfrac{720}{36} - 1 = 20 - 1 = 19$.
Kết luận: Cần xây thêm 19 trạm tăng áp để tổng chi phí nhỏ nhất.
Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu lần lượt là $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ và 10 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh đó thành một hàng ngang sao cho nếu tính từ trái sang phải thì các học sinh nữ có chiều cao tăng dần, các học sinh nam cũng có chiều cao tăng dần; giữa học sinh $G_{1}$ và $G_{2}$ có ít nhất 2 học sinh nam, giữa học sinh $G_{4}$ và $G_{5}$ có ít nhất 1 học sinh nam và nhiều nhất 4 học sinh nam?
Áp dụng phương pháp vách ngăn.
Gọi $x_{1}$ là số học sinh nam được xếp bên trái $G_{1}$, $x_{2}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{1}$ và $G_{2}$, $x_{3}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{2}$ và $G_{3}$, $x_{4}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{3}$ và $G_{4}$,$x_{5}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{4}$ và $G_{5}$, $x_{6}$ là số học sinh nam được xếp bên phải $G_{5}$.
Khi đó bộ số $(x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5};x_{6})$ hoàn toàn xác định vị trí của các học sinh nữ và ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 10} \\ {x_{1},x_{3},x_{4},x_{6} \geq 0;x_{2} \geq 2;1 \leq x_{5} \leq 4} \end{array} \right.$
Đặt $y_{1} = x_{1} + 1,y_{2} = x_{2} - 1;y_{3} = x_{3} + 1,y_{4} = x_{4} + 1,y_{6} = x_{6} + 1$.
Khi đó số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là số nghiệm nguyên dương ($y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6}$) của phương trình $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{6} = 13 - x_{5}$, với $1 \leq x_{5} \leq 4$.
+) Xét $x_{5} = 1$, ta có $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{6} = 12$. Ta xét dãy gồm 12 chữ số 1 như sau:
$1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1$.
Giữa hai số 1 bất kỳ có một khoảng trống. Ta chỉ cần chọn 4 vị trí khoảng trống để ngăn cách sẽ tạo thành 5 đoạn ứng với bộ $(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6})$. Vậy số nghiệm trong trường hợp này là $C_{11}^{4}$.
+) Xét $x_{5} = 2$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{10}^{4}$.
+) Xét $x_{5} = 3$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{9}^{4}$.
+) Xét $x_{5} = 4$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{8}^{4}$.
Suy ra số cách xếp là $C_{11}^{4} + C_{10}^{4} + C_{9}^{4} + C_{8}^{4} = 736$.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường THPT Cửa Lò - Nghệ An
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường Lê Thánh Tông - TP HCM
Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường THPT Cửa Lò - Nghệ An
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường Lê Thánh Tông - TP HCM
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh
- Đề thi THPT môn Toán năm 2025 (Mã 123) có lời giải
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường THPT Cửa Lò - Nghệ An
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2026 trường Lê Thánh Tông - TP HCM
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh
- Đề thi THPT môn Toán năm 2025 (Mã 123) có lời giải
