-
Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán
-
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 Sở GD Hà Tĩnh
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 1 năm 2025 cụm các trường số 4 - Hải Dương
-
Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 1
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 2
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 3
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 4
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 5
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 6
Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 6 (hay, chi tiết)
I. Phần trắc nghiệm
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\), một vecto chỉ phương của đường thẳng d là
-
A.
\(\overrightarrow c = ( - 1;3; - 2)\)
-
B.
\(\overrightarrow d = (2;1; - 3)\)
-
C.
\(\overrightarrow a = ( - 2;1;3)\)
-
D.
\(\overrightarrow b = (1; - 3;2)\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;3], biết f(3) = 5; f(-1) = -2; giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^3 {f'(x)dx} \) là
-
A.
7
-
B.
3
-
C.
4
-
D.
-7
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
-
A.
3
-
B.
2
-
C.
4
-
D.
1
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\); \({u_2} = 6\). Giá trị \({u_5}\) là
-
A.
27
-
B.
54
-
C.
81
-
D.
162
Trong cuộc thi có 10 thí sinh tham gia, số cách trao một giải nhất, một giải nhì và một giải ba là
-
A.
\({10^3}\)
-
B.
\(3.10\)
-
C.
\(A_{10}^3\)
-
D.
\(C_{10}^3\)
Bạn Hằng rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Hằng được thống kê lại ở bảng sau:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
-
A.
25,75
-
B.
27,5
-
C.
31,88
-
D.
8,125
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Phương trình \({\log _3}(2x - 3) = 3\) có nghiệm là
-
A.
12
-
B.
15
-
C.
13
-
D.
6
Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông có cạnh là 3a, \(SA \bot (ABCD)\), \(SA = a\sqrt 2 \). Thể tích khối chóp S.ABCD là
-
A.
\(3{a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\(4{a^3}\sqrt 2 \)
-
C.
\(9{a^3}\sqrt 2 \)
-
D.
\(12{a^3}\sqrt 2 \)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 3, AD = 4, \(SA \bot (ABCD)\), SA = 5. Giá trị của \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} \) là
-
A.
15
-
B.
12
-
C.
20
-
D.
0
Bác Hùng thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây Keo tai tượng 5 năm tuổi được trồng ở
một lâm trường ở bảng sau:
Hãy tìm số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
-
A.
36,9 cm
-
B.
33,9 cm
-
C.
35,9 cm
-
D.
34,9 cm
Trong không gian (Oxyz), cho \(\Delta ABC\) có \(\overrightarrow {AB} = (4; - 1; - 5)\), \(\overrightarrow {BC} = (2; - 4; - 2)\), gọi M là trung điểm BC. Độ dài đoạn AM là
-
A.
\(\sqrt {70} \)
-
B.
\(2\sqrt {70} \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\frac{{\sqrt {110} }}{2}\)
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0 và điểm I(2;-3;-1); mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình là
-
A.
\({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 12\)
-
B.
\({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 24\)
-
C.
\({(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = 12\)
-
D.
\({(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = 24\)
Một huấn luyện viên môn bóng rổ thống kê lại số quả bóng được ném vào rổ của một nhóm vận động viên đang tập luyện mỗi người ném 11 lần như sau:
a) Từ biểu đồ, có thể lập được bảng tần số ghép nhóm gồm 5 nhóm biết mỗi nhóm có độ dài là 2.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên lớn hơn 5.
c) Số trung bình của mẫu số liệu bằng \(\frac{{85}}{{14}}\).
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên lớn hơn 3.
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy và tam giác đều SAB cạnh 2a. Biết tam giác ABC vuông tại C và cạnh \(AC = a\sqrt 3 \).
a) \(SH \bot (ABC)\) với H là trung điểm AB.
b) \(d\left( {S,(ABC)} \right) = a\sqrt 3 \).
c) \(d\left( {C,(SAB)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
d) Thể tích của khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu bằng -7, số hạng thứ hai bằng 14 và số hạng cuối bằng 14336.
a) Công bội của cấp số nhân bằng 2.
b) 224 là số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.
c) Cấp số nhân đã cho có 12 số hạng.
d) Tổng \({u_1} + {u_3} + {u_5} + {u_7} + {u_9}\) bằng -2387.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y – z – 3 = 0 và hai điểm A(1;-3;-4), B(1;2;1).
a) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; - 1; - 1)\).
b) \(\overrightarrow {AB} = (0;5;5)\).
c) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
d) Cho điểm M di động trên (P). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + M{B^2}\) bằng 56.
Một mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy dài 2,4 m và độ dài các cạnh bên của hình chóp bằng 3 m . Gọi góc nhị diện giữa hai mặt bên đối diện của mái che giếng trời đó là \(\alpha \), tính \(\cos \alpha \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Một bình đựng 30 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 20 viên bi xanh và 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án:
Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí A cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m. Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người đó điều khiển flycam đến vị trí B cách vị trí điều khiển 100 m về phía bắc và 50 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Biết flycam bay theo một đường thẳng từ vị trí A đến vị trí B tạo thành một vecto \(\overrightarrow {AB} \). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
Đáp án:
Trong 10 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = {t^3} - 12{t^2} + 5t + 1\), trong đó thời gian t được tính bằng giây, quãng đường s tính bằng mét. Hỏi sau khoảng thời gian bao nhiêu giây thì vận tốc tức thời của chất điểm bắt đầu tăng lên?
Đáp án:
Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm, bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (hình vẽ sau).
Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Cho đường thẳng \(y = \frac{3}{4}x\) và parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\), (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\), \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì giá trị biểu thức 128a + 3 bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\), một vecto chỉ phương của đường thẳng d là
-
A.
\(\overrightarrow c = ( - 1;3; - 2)\)
-
B.
\(\overrightarrow d = (2;1; - 3)\)
-
C.
\(\overrightarrow a = ( - 2;1;3)\)
-
D.
\(\overrightarrow b = (1; - 3;2)\)
Đáp án : C
Đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a;b;c)\).
Một vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = (2; - 1; - 3)\). Do \(\overrightarrow a = ( - 2;1;3)\) cùng phương với \(\overrightarrow u = (2; - 1; - 3)\) nên \(\overrightarrow a = ( - 2;1;3)\) cũng là một vecto chỉ phương của d.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;3], biết f(3) = 5; f(-1) = -2; giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^3 {f'(x)dx} \) là
-
A.
7
-
B.
3
-
C.
4
-
D.
-7
Đáp án : A
\(\int\limits_a^b {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = f(b) - f(a)\).
\(\int\limits_{ - 1}^3 {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_{ - 1}}\end{array} = f(3) - f( - 1) = 5 - ( - 2) = 7} \right.\).
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
-
A.
3
-
B.
2
-
C.
4
-
D.
1
Đáp án : B
\({x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị y = f(x) khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty \).
Quan sát bảng biến thiên, thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = + \infty \).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\); \({u_2} = 6\). Giá trị \({u_5}\) là
-
A.
27
-
B.
54
-
C.
81
-
D.
162
Đáp án : D
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).
\(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{2} = 3\); \({u_5} = {u_1}{q^4} = {2.3^4} = 162\).
Trong cuộc thi có 10 thí sinh tham gia, số cách trao một giải nhất, một giải nhì và một giải ba là
-
A.
\({10^3}\)
-
B.
\(3.10\)
-
C.
\(A_{10}^3\)
-
D.
\(C_{10}^3\)
Đáp án : D
Áp dụng chỉnh hợp.
Số cách trao một giải nhất, một giải nhì và một giải ba cho 3 trong số 10 thí sinh là \(A_{10}^3\).
Bạn Hằng rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Hằng được thống kê lại ở bảng sau:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
-
A.
25,75
-
B.
27,5
-
C.
31,88
-
D.
8,125
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Đáp án : D
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Cỡ mẫu: n = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18.
\({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {{x_9} + {x_{10}}} \right)\);
\({Q_1} = {x_5} \in [20;25) \Rightarrow {Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{18}}{4} - 0}}{6}(25 - 20) = \frac{{95}}{4}\);
\({Q_3} = {x_{14}} \in [30;35) \Rightarrow {Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - 12}}{4}(35 - 30) = \frac{{225}}{8}\);
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{225}}{8} - \frac{{95}}{4} = 8,125\).
Phương trình \({\log _3}(2x - 3) = 3\) có nghiệm là
-
A.
12
-
B.
15
-
C.
13
-
D.
6
Đáp án : B
\({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\), điều kiện b > 0.
ĐKXĐ: \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\).
\({\log _3}(2x - 3) = 3 \Leftrightarrow 2x - 3 = {3^3} \Leftrightarrow x = 15\).
Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông có cạnh là 3a, \(SA \bot (ABCD)\), \(SA = a\sqrt 2 \). Thể tích khối chóp S.ABCD là
-
A.
\(3{a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\(4{a^3}\sqrt 2 \)
-
C.
\(9{a^3}\sqrt 2 \)
-
D.
\(12{a^3}\sqrt 2 \)
Đáp án : A
Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3}Bh\) tính thể tích khối chóp có diện tích đáy là S, chiều cao là h.
\(SA \bot (ABCD)\) nên chiều cao khối chóp là SA.
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .\left( {3{a^2}} \right) = 3{a^2}\sqrt 2 \).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 3, AD = 4, \(SA \bot (ABCD)\), SA = 5. Giá trị của \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} \) là
-
A.
15
-
B.
12
-
C.
20
-
D.
0
Đáp án : D
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên \(SA \bot BC\), khi đó \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\).
Bác Hùng thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây Keo tai tượng 5 năm tuổi được trồng ở
một lâm trường ở bảng sau:
Hãy tìm số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
-
A.
36,9 cm
-
B.
33,9 cm
-
C.
35,9 cm
-
D.
34,9 cm
Đáp án : C
Áp dụng công thức \(\overline x = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + ... + {c_k}{n_k}}}{{{n_1} + {n_2} + ... + {n_k}}}\).
\(\overline x = \frac{{27,5.5 + 32,5.20 + 37,5.18 + 42,5.7 + 47,5.3}}{{5 + 20 + 18 + 7 + 3}} \approx 35,9\).
Trong không gian (Oxyz), cho \(\Delta ABC\) có \(\overrightarrow {AB} = (4; - 1; - 5)\), \(\overrightarrow {BC} = (2; - 4; - 2)\), gọi M là trung điểm BC. Độ dài đoạn AM là
-
A.
\(\sqrt {70} \)
-
B.
\(2\sqrt {70} \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\frac{{\sqrt {110} }}{2}\)
Đáp án : A
Áp dụng quy tắc ba điểm tính \(\overrightarrow {AC} \), quy tắc trung điểm tính \(\overrightarrow {AM} \). Từ đó, tìm độ dài AM.
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = (4 + 2; - 1 - 4; - 5 - 2) = (6; - 5; - 7)\); \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {4 + 6; - 1 - 5; - 5 - 7} \right) = \left( {5; - 3; - 6} \right)\).
Suy ra \(AM = \sqrt {{5^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {70} \).
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0 và điểm I(2;-3;-1); mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình là
-
A.
\({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 12\)
-
B.
\({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 24\)
-
C.
\({(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = 12\)
-
D.
\({(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = 24\)
Đáp án : B
Mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến (P) là bán kính mặt cầu.
\(R = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - ( - 3) - ( - 1) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 2\sqrt 6 \).
Phương trình mặt cầu (S) là \({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 24\).
Một huấn luyện viên môn bóng rổ thống kê lại số quả bóng được ném vào rổ của một nhóm vận động viên đang tập luyện mỗi người ném 11 lần như sau:
a) Từ biểu đồ, có thể lập được bảng tần số ghép nhóm gồm 5 nhóm biết mỗi nhóm có độ dài là 2.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên lớn hơn 5.
c) Số trung bình của mẫu số liệu bằng \(\frac{{85}}{{14}}\).
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên lớn hơn 3.
a) Từ biểu đồ, có thể lập được bảng tần số ghép nhóm gồm 5 nhóm biết mỗi nhóm có độ dài là 2.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên lớn hơn 5.
c) Số trung bình của mẫu số liệu bằng \(\frac{{85}}{{14}}\).
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên lớn hơn 3.
Lập bảng tần số ghép nhóm, áp dụng công thức tính khoảng tứ phân vị, số trung bình và độ lệch chuẩn.
a) Đúng. Bảng tần số ghép nhóm thoả mãn yêu cầu:
Vậy có 5 nhóm, mỗi nhóm có độ dài bằng 2.
b) Sai. Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{{x_{28}}}}\) lần lượt là số quả bóng được ném vào rổ của các vận động viên sắp xếp theo thứ tự
không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_7} + {x_8}} \right) \in \left[ {3;5} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu
ghép nhóm là \({Q_1} = 3 + \frac{{\frac{{28}}{4} - 5}}{7}\left( {5 - 3} \right) = \frac{{25}}{7}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right) \in \left[ {7;9} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{3.28}}{4} - 15}}{8}\left( {9 - 7} \right) = \frac{{17}}{2}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{17}}{2} - \frac{{25}}{7} \approx 4,93\).
c) Đúng. Ta có bảng thống kê theo giá trị đại diện:
Cỡ mẫu: n = 28.
Số trung bình của mẫu số liệu: \(\overline x = \frac{1}{{28}}\left( {5.2 + 7.4 + 3.6 + 8.8 + 5.10} \right) = \frac{{85}}{{14}}\).
d) Sai. Phương sai của mẫu số liệu:
\({S^2} = \frac{1}{{28}}\left( {{{5.2}^2} + {{7.4}^2} + {{3.6}^2} + {{8.8}^2} + {{5.10}^2}} \right) - {\left( {\frac{{85}}{{14}}} \right)^2} = \frac{{1539}}{{196}}\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: \(S = \sqrt {\frac{{1539}}{{196}}} \approx 2,802\).
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy và tam giác đều SAB cạnh 2a. Biết tam giác ABC vuông tại C và cạnh \(AC = a\sqrt 3 \).
a) \(SH \bot (ABC)\) với H là trung điểm AB.
b) \(d\left( {S,(ABC)} \right) = a\sqrt 3 \).
c) \(d\left( {C,(SAB)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
d) Thể tích của khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
a) \(SH \bot (ABC)\) với H là trung điểm AB.
b) \(d\left( {S,(ABC)} \right) = a\sqrt 3 \).
c) \(d\left( {C,(SAB)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
d) Thể tích của khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, định lý Pythagore, công thức tính thể tích khối chóp.
a) Đúng. H là trung điểm AB, mà tam giác SAB đều nên SH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, hay \(SH \bot AB\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(SAB) \bot (ABC)\\(SAB) \cap (ABC) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset (SAB)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot (ABC)\).
b) Đúng. Tam giác SAB đều cạnh 2a có độ dài đường cao là \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot (ABC)\\H \in (ABC)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {S,(ABC)} \right) = SH = a\sqrt 3 \).
c) Sai. Kẻ đường cao CK của tam giác ABC.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot CK\\AB \bot CK\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot (SAB) \Rightarrow d\left( {C,(SAB)} \right) = CK\).
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại C:
\(B{C^2} = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\).
Xét tam giác ABC vuông tại C có đường cao CK:
\(AB.CK = CA.CB \Leftrightarrow CK = \frac{{CA.CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {C,(SAB)} \right) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
d) Sai. Diện tích đáy hình chóp là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu bằng -7, số hạng thứ hai bằng 14 và số hạng cuối bằng 14336.
a) Công bội của cấp số nhân bằng 2.
b) 224 là số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.
c) Cấp số nhân đã cho có 12 số hạng.
d) Tổng \({u_1} + {u_3} + {u_5} + {u_7} + {u_9}\) bằng -2387.
a) Công bội của cấp số nhân bằng 2.
b) 224 là số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.
c) Cấp số nhân đã cho có 12 số hạng.
d) Tổng \({u_1} + {u_3} + {u_5} + {u_7} + {u_9}\) bằng -2387.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) và công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\).
a) Sai. Công bội của cấp số nhân bằng \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = - 2\).
b) Sai. \({u_5} = - 7.{( - 2)^4} = - 112\).
c) Đúng. \( - 7.{( - 2)^{n - 1}} = 14336 \Leftrightarrow {( - 2)^{n - 1}} = 2048 \Leftrightarrow n - 1 = 11 \Leftrightarrow n = 12\).
d) Đúng. \({u_1},{u_3},{u_5},{u_7},{u_9}\) lập thành một cấp số nhân gồm 5 số hạng với số hạng đầu bằng -7 và công bội bằng 4 nên \({u_1} + {u_3} + {u_5} + {u_7} + {u_9} = - 7.\frac{{{4^5} - 1}}{{4 - 1}} = - 2387\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y – z – 3 = 0 và hai điểm A(1;-3;-4), B(1;2;1).
a) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; - 1; - 1)\).
b) \(\overrightarrow {AB} = (0;5;5)\).
c) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
d) Cho điểm M di động trên (P). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + M{B^2}\) bằng 56.
a) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; - 1; - 1)\).
b) \(\overrightarrow {AB} = (0;5;5)\).
c) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
d) Cho điểm M di động trên (P). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + M{B^2}\) bằng 56.
Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.
a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = (1; - 1; - 1)\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = (1 - 1;2 + 3;1 + 4) = (0;5;5)\).
c) Đúng. \(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 - ( - 3) - ( - 4) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
d) Sai. Gọi I là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{5} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{5} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{5} = 0\end{array} \right. \Rightarrow I(1;1;0)\).
Ta có: \(M{A^2} + 4M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + 4{\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} + 4{\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)
\( = 5I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} } \right) + M{A^2} + 4M{B^2}\).
Suy ra \(M{A^2} + 4M{B^2} = 5I{M^2} + I{A^2} + 4I{B^2}\).
\(M{A^2} + 4M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất (vì IA, IB cố định) \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).
Khi đó \(IM = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 - 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt 3 \).
\(I{A^2} = {(1 - 1)^2} + {( - 3 - 1)^2} + {( - 4 - 0)^2} = 32\); \(4I{B^2} = 4\left[ {{{(1 - 1)}^2} + {{(2 - 1)}^2} + {{(1 - 0)}^2}} \right] = 8\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M{A^2} + 4M{B^2}\) là \(5I{M^2} + I{A^2} + 4I{B^2} = 5.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 32 + 8 = 55\).
Một mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy dài 2,4 m và độ dài các cạnh bên của hình chóp bằng 3 m . Gọi góc nhị diện giữa hai mặt bên đối diện của mái che giếng trời đó là \(\alpha \), tính \(\cos \alpha \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Mô hình hóa mái che dạng chóp tứ giác đều. Áp dụng quy tắc xác định góc nhị diện, định lý Pythagore và hệ quả định lý cosin trong tam giác.
Mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD, SA = 3, AB = 2,4.
Gọi P, Q là trung điểm của BC, AD. Khi đó \(SP \bot BC\) và \(SQ \bot AD\) (đường trung tuyến đồng thời là đường cao của các tam giác cân đỉnh S).
Vì mỗi mặt phẳng (SBC) và (SAD) chứa đường thằng AD và BC song song với nhau, S là giao điểm của hai mặt phẳng nên tiếp tuyến của chúng là đườn\( \Rightarrow SQ = SP = \sqrt {S{B^2} - P{B^2}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{5}\)g thẳng d qua S sao cho d // BC // AD.
Suy ra \(SP \bot d\) và \(SQ \bot d\).
Khi đó \(\widehat {PSQ} = \alpha \) là góc nhị diện giữa hai mặt bên đối diện (SAD), (SBC).
Ta có: SB = 3, PB = 1,2 .
Xét tam giác SPQ: \(\cos \alpha = \frac{{S{P^2} + S{Q^2} - P{Q^2}}}{{2.SP.SQ}} = \frac{{13}}{{21}} \approx 0,62\).
Một bình đựng 30 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 20 viên bi xanh và 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án:
Đáp án:
Áp dụng công thức nhân xác suất \(P(AB) = P(A).P(B|A)\).
A: “Lấy được viên bi xanh ở lần thứ nhất”.
B: “Lấy được viên bi trắng ở lần thứ hai”.
Ban đầu, có 20 viên bi xanh trong tổng số 30 viên bi trắng nên \(P(A) = \frac{{20}}{{30}} = \frac{2}{3}\).
Sau khi lấy được bi xanh ở lần thứ nhất, trong 29 viên bi còn lại có 10 viên bi trắng nên \(P(B|A) = \frac{{10}}{{29}}\).
Xác suất cần tìm là \(P(AB) = P(A).P(B|A) = \frac{2}{3}.\frac{{10}}{{29}} = \frac{{20}}{{87}} \approx 0,23\).
Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí A cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m. Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người đó điều khiển flycam đến vị trí B cách vị trí điều khiển 100 m về phía bắc và 50 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Biết flycam bay theo một đường thẳng từ vị trí A đến vị trí B tạo thành một vecto \(\overrightarrow {AB} \). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.
Áp dụng công thức tính độ dài vecto \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {\left( {{x_B} - {x_A}} \right) + \left( {{y_B} - {y_A}} \right)} \).
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại vị trí điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (như hình vẽ).
Ta có A(100;150;30), B(-100;-50;40). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = ( - 100 - 100; - 50 - 150;40 - 30) = ( - 200; - 200;10)\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 200)}^2} + {{( - 200)}^2} + {{10}^2}} = 30\sqrt {89} \approx 283\) (m).
Trong 10 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = {t^3} - 12{t^2} + 5t + 1\), trong đó thời gian t được tính bằng giây, quãng đường s tính bằng mét. Hỏi sau khoảng thời gian bao nhiêu giây thì vận tốc tức thời của chất điểm bắt đầu tăng lên?
Đáp án:
Đáp án:
Lập bảng xét dấu cho hàm v(t) = s’(t).
Vận tốc tức thời của chất điểm tăng lên khi v’(t) đổi dấu từ âm sang dương.
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t\) là \(v(t) = s'(t) = 3{t^2} - 24t + 5\).
Xét hàm số \(v(t) = 3{t^2} - 24t + 5\) với \(t \in \left[ {0;10} \right]\) ta có:
\(v'(t) = 6t - 24 \Rightarrow v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu suy ra vận tốc tức thời của chất điểm bắt đầu tăng lên sau khoảng thời gian 4 giây.
Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm, bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (hình vẽ sau).
Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Đáp án:
Lập hàm số biểu diễn thể tích của khối chóp và tìm giá trị lớn nhất bằng cách ứng dụng đạo hàm.
Gọi cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là x (dm) với \(0 < x < 6\sqrt 2 \) như hình bên.
Ta có: \(AH = \frac{{AC - HK}}{2} = 3\sqrt 2 - \frac{x}{2}\).
Đường cao của hình chóp tứ giác đều là: \(h = \sqrt {A{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 - \frac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \).
Thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}h{x^2} = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)} \).
Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)\)với \(0 < x < 6\sqrt 2 \).
Ta có: \(f'(x) = {x^3}\left( { - 15\sqrt 2 x + 72} \right)\), \(f'(x) = 0\) khi x = 0 hoặc \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).
Bảng biến thiên của f(x) như sau:
Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6\sqrt 2 } \right)} f(x) = f\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 477,75\) tại \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).
Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng \(V = \frac{1}{3}.\sqrt {{{\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)}^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 .\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)} \approx 7,3\) \(\left( {d{m^3}} \right)\).
Cho đường thẳng \(y = \frac{3}{4}x\) và parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\), (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\), \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì giá trị biểu thức 128a + 3 bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
Ta có phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 4a = 0\).
Theo đề bài phương trình có hai nghiệm \(0 < {x_1} < {x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{3}{2}\quad \left( * \right)\\{x_1}{x_2} = 2a\quad \,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\).
\({S_1} - {S_2} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_1}} {\left| {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a} \right|{\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_2}} {\left| {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + a} \right|{\rm{d}}x} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left. {\left| {\frac{1}{6}{x^3} - \frac{3}{8}{x^2} + ax} \right|} \right|_0^{{x_2}} = 0 \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{6}x_2^3 - \frac{3}{8}x_2^2 + a{x_2}} \right| = 0 \Rightarrow a = - \frac{{x_2^2}}{6} + \frac{{3{x_2}}}{8}\) (***).
Từ \(\left( * \right) \Rightarrow {x_1} = \frac{3}{2} - {x_2}\), thay vào \(\left( {**} \right) \Rightarrow \left( {\frac{3}{2} - {x_2}} \right){x_2} = - \frac{{x_2^2}}{3} + \frac{{3{x_2}}}{4} \Leftrightarrow \frac{{2x_2^2}}{3} - \frac{{3{x_2}}}{4} = 0 \Rightarrow {x_2} = \frac{9}{8}\).
Thay vào (***) ta được \(a = \frac{{27}}{{128}}\).
Vậy \(128a + 3 = 128.\frac{{27}}{{128}} + 3 = 30\).
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 6 (hay, chi tiết)
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 5 (hay, chi tiết)
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2025 cụm các trường số 4 - Hải Dương
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 4 (hay, chi tiết)
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 6 (hay, chi tiết)
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 5 (hay, chi tiết)
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2025 cụm các trường số 4 - Hải Dương
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 4 (hay, chi tiết)
