Cho hàm số f(x) = 4sinx + 2x + 1.
a) \(f(0) = 1\); \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi - 3\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = -4cosx + 2.
c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(\frac{{2\pi }}{3}\).
d) Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(2\pi + 1\).
a) \(f(0) = 1\); \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi - 3\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = -4cosx + 2.
c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(\frac{{2\pi }}{3}\).
d) Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(2\pi + 1\).
Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số rồi nhận xét.
a) Đúng. \(f(0) = 4\sin 0 + 2.0 + 1 = 1\); \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 2.\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 1 = - \pi - 3\).
b) Sai. f’(x) = 4cosx + 2.
c) Đúng. \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Vì ta chỉ xét đoạn \([0;\pi ]\) nên:
+) Với \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) ta có:
\(0 \le x \le \pi \Leftrightarrow 0 \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}\).
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 0. Khi đó \(x = \frac{{2\pi }}{3} + 0.2\pi = \frac{{2\pi }}{3}\).
+) Với \(x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) ta có:
\(0 \le x \le \pi \Leftrightarrow 0 \le - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{5\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{6}\).
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị k nào thỏa mãn.
Vậy trên đoạn \([0;\pi ]\), f’(x) = 0 chỉ có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{2\pi }}{3}\).
d) Sai. Xét hàm số f(x) trên \([0;\pi ]\).
\(f(0) = 1\); \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2\sqrt 3 + \frac{{4\pi }}{3} + 1\); \(f(\pi ) = 2\pi + 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2\sqrt 3 + \frac{{4\pi }}{3} + 1\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\).
a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
Lập bảng biến thiên của hàm số \(q = g\left( p \right)\) trên khoảng \(\left( {f; + \infty } \right)\).
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 3\).
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\)
a) Lập bảng biến thiên.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số \(f(x) = 2\cos x + x\).
a) \(f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là\({f^\prime }(x) = 2\sin x + 1\).
c) Nghiệm của phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\).
d) Giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 {\rm{\;}} + \frac{\pi }{6}\).
Cho hàm số \(f(x) = 5x - {\log _3}(x + 1)\).
a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1;0) .
b) Hàm số f(x) có một điểm cực đại.
c) Đạo hàm của hàm số f(x) là \(f'(x) = 5 - \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}}\), \(\forall x \in ( - 1; + \infty )\).
d) Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x = 2 là f(2) = 9.
Cho hàm số \(f(x) = \ln x - \frac{x}{2}\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).
c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\).
a) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
c) Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó độ dài AB bằng \(\sqrt 5 \).
d) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} - 2x\).
a) Hàm số có tập xác định là R.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} - 2\).
c) Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(S = \left( {0; + \infty } \right)\).
d) Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng 0.
Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức:
\(C(v) = \frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v\) \(\left( {0 < v \le 120} \right)\)
Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?
