Cho hàm số \(f(x) = 2\cos x + x\).
a) \(f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là\({f^\prime }(x) = 2\sin x + 1\).
c) Nghiệm của phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\).
d) Giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 {\rm{\;}} + \frac{\pi }{6}\).
a) \(f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là\({f^\prime }(x) = 2\sin x + 1\).
c) Nghiệm của phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\).
d) Giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 {\rm{\;}} + \frac{\pi }{6}\).
Thay x bằng các giá trị đã cho để tính.
Tính đạo hàm của hàm số lượng giác.
Giải phương trình lượng giác.
Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất.
a) Đúng: \(f(x) = 2\cos x + x\).
Ta có \(f(0) = 2\cos 0 + 0 = 2\) và \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2cos\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}\).
b) Sai: \({f^\prime }(x) = - 2\sin x + 1\).
c) Đúng: Ta có:
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
Trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) có nghiệm là \(\frac{\pi }{6}\).
d) Đúng: Ta có \(f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} \approx 1,57;f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 + \frac{\pi }{6} \approx 2,26.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 + \frac{\pi }{6}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\).
a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
Lập bảng biến thiên của hàm số \(q = g\left( p \right)\) trên khoảng \(\left( {f; + \infty } \right)\).
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 3\).
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\)
a) Lập bảng biến thiên.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số \(f(x) = 5x - {\log _3}(x + 1)\).
a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1;0) .
b) Hàm số f(x) có một điểm cực đại.
c) Đạo hàm của hàm số f(x) là \(f'(x) = 5 - \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}}\), \(\forall x \in ( - 1; + \infty )\).
d) Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x = 2 là f(2) = 9.
Cho hàm số f(x) = 4sinx + 2x + 1.
a) \(f(0) = 1\); \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi - 3\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = -4cosx + 2.
c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(\frac{{2\pi }}{3}\).
d) Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(2\pi + 1\).
Cho hàm số \(f(x) = \ln x - \frac{x}{2}\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).
c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\).
a) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
c) Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó độ dài AB bằng \(\sqrt 5 \).
d) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} - 2x\).
a) Hàm số có tập xác định là R.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} - 2\).
c) Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(S = \left( {0; + \infty } \right)\).
d) Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng 0.
