Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\).
a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
Lập bảng biến thiên của hàm số \(q = g\left( p \right)\) trên khoảng \(\left( {f; + \infty } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tính giới hạn của hàm số để tính.
Sử dụng kiến thức về lập bảng biến thiên của hàm số để lập bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
a) Ta có: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Rightarrow q = \frac{{pf}}{{p - f}}\). Do đó, \(q = g\left( p \right) = \frac{{pf}}{{p - f}}\) với \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \frac{{pf}}{{p - f}} = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \frac{f}{{1 - \frac{f}{p}}} = f,\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} \frac{{pf}}{{p - f}} = + \infty \)
Ý nghĩa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right) = f\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.
Ý nghĩa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right) = + \infty \): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.
c) Ta có: \(q' = g'\left( p \right) = \frac{{ - {f^2}}}{{{{\left( {p - f} \right)}^2}}} < 0\;\forall p \in \left( {f; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {f; + \infty } \right)\).
Bảng biến thiên:
Các bài tập cùng chuyên đề
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 3\).
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\)
a) Lập bảng biến thiên.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số \(f(x) = 2\cos x + x\).
a) \(f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là\({f^\prime }(x) = 2\sin x + 1\).
c) Nghiệm của phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\).
d) Giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 {\rm{\;}} + \frac{\pi }{6}\).
Cho hàm số \(f(x) = 5x - {\log _3}(x + 1)\).
a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1;0) .
b) Hàm số f(x) có một điểm cực đại.
c) Đạo hàm của hàm số f(x) là \(f'(x) = 5 - \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}}\), \(\forall x \in ( - 1; + \infty )\).
d) Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x = 2 là f(2) = 9.
Cho hàm số f(x) = 4sinx + 2x + 1.
a) \(f(0) = 1\); \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi - 3\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = -4cosx + 2.
c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(\frac{{2\pi }}{3}\).
d) Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(2\pi + 1\).
Cho hàm số \(f(x) = \ln x - \frac{x}{2}\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).
c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\).
a) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
c) Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó độ dài AB bằng \(\sqrt 5 \).
d) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} - 2x\).
a) Hàm số có tập xác định là R.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} - 2\).
c) Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(S = \left( {0; + \infty } \right)\).
d) Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng 0.
Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức:
\(C(v) = \frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v\) \(\left( {0 < v \le 120} \right)\)
Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?
