Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\).
a) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
c) Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó độ dài AB bằng \(\sqrt 5 \).
d) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.
a) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
c) Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó độ dài AB bằng \(\sqrt 5 \).
d) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.
Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và nhận xét.
\(f'(x) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
a) Đúng. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).
b) Đúng. Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
c) Sai. Giả sử A(0;4), B(2;0). Ta có \(AB = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} = 2\sqrt 5 \).
d) Sai. Ta có \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}} = \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}} = \frac{{x + 1}}{{(x + 1){{(x - 2)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = + \infty \) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}\) có một đường tiệm cận đứng là x = 2.
Các bài tập cùng chuyên đề
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\).
a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
Lập bảng biến thiên của hàm số \(q = g\left( p \right)\) trên khoảng \(\left( {f; + \infty } \right)\).
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 3\).
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\)
a) Lập bảng biến thiên.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số \(f(x) = 2\cos x + x\).
Cho hàm số \(f(x) = 5x - {\log _3}(x + 1)\).
Cho hàm số f(x) = 4sinx + 2x + 1.
Cho hàm số \(f(x) = \ln x - \frac{x}{2}\).
