Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 2 năm 2025 - 2026 sở GD&ĐT Thanh Hóa

Gọi M là tâm mặt cầu (S). Vì hai đường tròn tâm $I_{1}$, $I_{2}$ thuộc (S) nên $\left\{ \begin{array}{l} {MI_{1}\bot\left( {I_{1}AB} \right)} \\ {MI_{2}\bot\left( {I_{2}AB} \right)} \end{array} \right.$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{I_{1}A} = ( - 1;1;3)$, $\overset{\rightarrow}{I_{1}B} = (1; - 3;1)$, $\overset{\rightarrow}{I_{2}A} = ( - 3;1;1)$, $\overset{\rightarrow}{I_{2}B} = ( - 1; - 3; - 1)$.

Gọi $\overset{\rightarrow}{u}$, $\overset{\rightarrow}{v}$ lần lượt là vecto chỉ phương của $MI_{1}$, $MI_{2}$. Ta có:

$\overset{\rightarrow}{u} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{I_{1}A},\overset{\rightarrow}{I_{1}B}} \right\rbrack = (10;4;2)$; $\overset{\rightarrow}{v} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{I_{2}A},\overset{\rightarrow}{I_{2}B}} \right\rbrack = (2; - 4;10)$.

Phương trình tham số của $MI_{1}$: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 10t} \\ {y = 1 + 4t} \\ {z = - 1 + 2t} \end{array} \right.$ $(t \in {\mathbb{R}})$.

Phương trình tham số của $MI_{2}$: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 2s} \\ {y = 1 - 4s} \\ {z = 1 + 10s} \end{array} \right.$ $(s \in {\mathbb{R}})$.

Tìm giao điểm M: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {1 + 10t = 3 + 2s} \\ {1 + 4t = 1 - 4s} \\ {- 1 + 2t = 1 + 10s} \end{array} \right.\Leftrightarrow t = - s = \dfrac{1}{6} \right.$.

Khi đó $M\left( {\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{MA} = \left( {- \dfrac{8}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right)$.

Vậy $R = MA = \sqrt{\left( {- \dfrac{8}{3}} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{129}}{3} \approx 3,79$.

Xét hình vẽ sau với O là tâm hình vuông và tia Ox đi qua trung điểm H của một cạnh hình vuông, gọi $\varphi$ là góc hợp bởi tia Ox và tia Ot với $\varphi \in \left\lbrack {0;\dfrac{\pi}{4}} \right\rbrack$.

Ta có $M(1;\tan\varphi)$, $ N(2\cos\varphi;2\sin\varphi)$

$\Rightarrow P\left( {\dfrac{1 + 2\cos\varphi}{2};\dfrac{\tan\varphi + 2\sin\varphi}{2}} \right) $.

Đặt $\left. x = \dfrac{1 + 2\cos\varphi}{2}\Leftrightarrow\cos\varphi = \dfrac{2x - 1}{2} \right.$.

Với $\varphi \in \left\lbrack {0;\dfrac{\pi}{4}} \right\rbrack$ thì $x \in \left( {\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.

$\Rightarrow\tan\varphi + 2\sin\varphi = \dfrac{\sin\varphi + 2\sin\varphi.\cos\varphi}{2\cos\varphi} $

$= \dfrac{\sin\varphi.2x}{2x - 1} = \dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}$.

Vậy P luôn thuộc đường cong $y = \dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}$ với $x \in \left( {\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (L) và hình vuông:

$S = 8\left\lbrack {{\int\limits_{0}^{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}{xdx}} + {\int\limits_{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}}^{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2x}{2x - 1}.\sqrt{1 - \left( \dfrac{2x - 1}{2} \right)^{2}}dx}}} \right\rbrack - 2^{2} \approx 3,67$.