Đề khảo sát chất lượng Toán 12 đợt 2 năm 2025 - 2026 cụm 9 Hà Nội

Tải về

Đề khảo sát chất lượng Toán 12 đợt 2 năm 2025 - 2026 cụm 9 Hà Nội

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Tải về

Đề bài

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{x^{3} + \sin x}{\cos x}$ là

A.

$D = {\mathbb{R}}$.
B.

$D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ {\dfrac{\pi}{2} + k\pi,k \in {\mathbb{Z}}} \right\}$.
C.

$D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ k\pi,k \in {\mathbb{Z}} \right\}$.
D.

$D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ k2\pi,k \in {\mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 2 :

Cấp số cộng $(u_{n}): - 10; - 7; - 4; - 1;\ldots$ có công sai bằng

A.

7.
B.

3.
C.

-3.
D.

0.

Câu 3 :

Cho các hàm số: $y = 0,25^{x}$, $y = 13^{x}$, $y = \log_{0,11}x$, $y = \log_{2}x$. Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định?

A.

0.
B.

1.
C.

2.
D.

3.

Câu 4 :

Khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, diện tích đáy bằng 10. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A.

2.
B.

15.
C.

30.
D.

10.

Câu 5 :

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) có phương trình là

A.

y = 1.
B.

x = 1.
C.

x = 0.
D.

y = 0.

Câu 6 :

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R}$, có $f'(x) = x(x - 1){(x + 2)}^{2}$. Số điểm cực trị của hàm số f(x) là

A.

3.
B.

1.
C.

4.
D.

2.

Câu 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-3; 5; 1). Tọa độ điểm D là

A.

D(-4; 8; -3).
B.

D(-2; 2; 5).
C.

D(-4; 8; 3).
D.

D(0; 2; 5).

Câu 8 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x + 6x$ là

A.

$\sin x + 3x^{2} + C$.
B.

$- \sin x + 3x^{2} + C$.
C.

$\sin x + 6x^{2} + C$.
D.

$- \sin x + C$.

Câu 9 :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 5]. Biết ${\int_{1}^{3}f}(x)dx = 4$ và ${\int_{3}^{5}f}(x)dx = - 2$. Giá trị của $I = {\int_{1}^{5}f}(x)dx$ bằng

A.

I = 6.
B.

I = 2.
C.

I = -8.
D.

I = -2.

Câu 10 :

Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2024 của một lớp 12 thu được kết quả như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu thống kê trên bằng

A.

7.
B.

6.
C.

8.
D.

10.

Câu 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 0; 0) tới mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 bằng

A.

3.
B.

$\sqrt{3}$.
C.

9.
D.

1.

Câu 12 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$: x + 2y - 3z + 2 = 0?

A.

K(1; 0; 1).
B.

N(3; 4; -2).
C.

M(-1; 3; 0).
D.

P(2; -3; 1).

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Hộp thứ nhất có 8 viên bi gồm màu xanh và màu đỏ, hộp thứ hai có 2 viên bi màu xanh và một số viên bi màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi. Gọi A là biến cố "Chọn được 2 viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất" và B là biến cố "Chọn được 2 viên bi màu xanh ở hộp thứ hai". Biết $P(A) = \frac{3}{28}$ và $P(B) = \frac{1}{15}$. Khi đó:

a) A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

Đúng

Sai

b) Xác suất để đồng thời cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi màu xanh bằng $\frac{1}{140}$.

Đúng

Sai

c) Xác suất để chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất bằng $\frac{25}{28}$.

Đúng

Sai

d) Tổng số viên bi màu đỏ ở hai hộp bằng 8.

Đúng

Sai

Câu 2 :

Trong buổi tổng duyệt văn nghệ tại sân trường, một drone được sử dụng để ghi hình toàn cảnh. Trong 15 giây đầu kể từ khi cất cánh, do hệ thống tự động điều chỉnh lực đẩy để tiết kiệm pin, độ cao của drone (tính bằng mét) tại thời điểm t giây, được mô tả gần đúng bởi $h(t) = -0,05t^3 + 0,6t^2 + 3t$ ($0 \leq t \leq 15$). Cùng thời điểm đó, một thang nâng sân khấu bắt đầu nâng thẳng đứng từ mặt sân với vận tốc không đổi 1 m/s.

a) Vận tốc của drone tại thời điểm $t$ là $v(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

Đúng

Sai

b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu.

Đúng

Sai

c) Trong khoảng $0 < t \leq 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần.

Đúng

Sai

d) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 m.

Đúng

Sai

Câu 3 :

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Ô tô A đang chạy với vận tốc 15 m/s thì gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước. Người lái xe A đạp phanh và ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 15 - 3t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh.

a) Quãng đường ô tô A đi được sau khi đạp phanh 2 giây là 24 m.

Đúng

Sai

b) Kể từ lúc đạp phanh, sau thời gian t = 5 giây thì ô tô A dừng lại.

Đúng

Sai

c) Quãng đường ô tô A đi được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn được tính bởi công thức $s = \int_{0}^{4} (15 - 3t)dt$.

Đúng

Sai

d) Để đảm bảo khoảng cách an toàn tối thiểu 1 m với ô tô B khi dừng lại, ô tô A phải bắt đầu đạp phanh khi còn cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 37,5 m.

Đúng

Sai

Câu 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -3; 2), B(-2; 1; -3).

a) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z + 2 = 0.

Đúng

Sai

b) Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

Đúng

Sai

c) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó độ dài đoạn thẳng AH bằng 6.

Đúng

Sai

d) Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng 7.

Đúng

Sai

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 :

Lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Có bao nhiêu học sinh thích chỉ một trong ba môn học trên?

Câu 2 :

Một hộp chứa 100 cái thẻ được đánh số thứ tự liên tiếp từ 1 đến 100. Hai thẻ khác nhau thì đánh số thứ tự khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ trong hộp. Có bao nhiêu cách chọn 3 thẻ có số thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời có tổng không vượt quá 150?

Câu 3 :

Hằng năm, trường THPT M tổ chức các đoàn đi thăm hỏi và chúc Tết tứ thân phụ mẫu cao tuổi của cán bộ, giáo viên và nhân viên trong trường. Đoàn số 1 có nhiệm vụ đến thăm 4 gia đình tại các địa điểm A, B, C, D. Đoàn xuất phát từ trường THPT M, đến thăm đủ 4 gia đình (mỗi gia đình đúng một lần). Sau khi thăm xong gia đình cuối cùng, đoàn kết thúc hành trình tại đó (không quay về trường). Do điều kiện giao thông dịp cuối năm, đoạn đường AB chỉ có thể đi theo chiều từ A đến B, không đi được theo chiều ngược lại (hình vẽ). Đoàn số 1 đã chọn được lộ trình di chuyển có tổng quãng đường di chuyển ngắn nhất. Tổng quãng đường ngắn nhất đó dài bao nhiêu km?

Câu 4 :

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$. Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC và biết rằng góc nhị diện $\lbrack C';BC;A\rbrack = 135^{o}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và AC'. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5 :

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm ($0 < x \leq 2500$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $f(x) = 2026x - x^{2}$ và tổng chi phí là $g(x) = x^{2} + 1438x - 1209$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 320). Giá trị của t bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Câu 6 :

Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng 0,5 m và cách chỗ Bình 4,5 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia Ox và mặt phẳng (Oxy) là mặt đất (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$: x + by + cz + d = 0 và $(\alpha)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải và đáp án

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{x^{3} + \sin x}{\cos x}$ là

A.

$D = {\mathbb{R}}$.
B.

$D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ {\dfrac{\pi}{2} + k\pi,k \in {\mathbb{Z}}} \right\}$.
C.

$D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ k\pi,k \in {\mathbb{Z}} \right\}$.
D.

$D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ k2\pi,k \in {\mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $\left. \cos x \neq 0\Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \right.$, $k \in {\mathbb{Z}}$.

Câu 2 :

Cấp số cộng $(u_{n}): - 10; - 7; - 4; - 1;\ldots$ có công sai bằng

A.

7.
B.

3.
C.

-3.
D.

0.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Công sai của cấp số cộng là $d = u_{n + 1} - u_{n}$.

Lời giải chi tiết :

Công sai của cấp số cộng trên bằng d = - 7 - (-10) = 3.

Câu 3 :

Cho các hàm số: $y = 0,25^{x}$, $y = 13^{x}$, $y = \log_{0,11}x$, $y = \log_{2}x$. Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định?

A.

0.
B.

1.
C.

2.
D.

3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số mũ và hàm số logarit có cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến trên tập xác định.

Lời giải chi tiết :

Ta có 13 > 1, 2 > 1 nên $y = 13^{x}$ và $y = \log_{2}x$ đồng biến trên tập xác định.

Câu 4 :

Khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, diện tích đáy bằng 10. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A.

2.
B.

15.
C.

30.
D.

10.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Công thức thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3}Bh$, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.

Lời giải chi tiết :

$V = \dfrac{1}{3}.10.3 = 10$.

Câu 5 :

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) có phương trình là

A.

y = 1.
B.

x = 1.
C.

x = 0.
D.

y = 0.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường thẳng $y = y_{0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$\lim\limits_{x\rightarrow\ + \infty}f(x) = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow\ - \infty}f(x) = y_{0}$.

Lời giải chi tiết :

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}y = 0$ nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.

Câu 6 :

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R}$, có $f'(x) = x(x - 1){(x + 2)}^{2}$. Số điểm cực trị của hàm số f(x) là

A.

3.
B.

1.
C.

4.
D.

2.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số điểm cực trị của f(x) là số nghiệm bội lẻ của f’(x).

Lời giải chi tiết :

Hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị là x = 0 và x = 1.

Câu 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-3; 5; 1). Tọa độ điểm D là

A.

D(-4; 8; -3).
B.

D(-2; 2; 5).
C.

D(-4; 8; 3).
D.

D(0; 2; 5).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

ABCD là hình bình hành thì $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử D(x; y; z).

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = (1; - 3;4)$, $\overset{\rightarrow}{DC} = ( - 3 - x;5 - y;1 - z)$.

$\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- 3 - x = 1} \\ {5 - y = - 3} \\ {1 - z = 4} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = - 4} \\ {y = 8} \\ {z = - 3} \end{array} \right.\Rightarrow D( - 4;8; - 3) $.

Câu 8 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x + 6x$ là

A.

$\sin x + 3x^{2} + C$.
B.

$- \sin x + 3x^{2} + C$.
C.

$\sin x + 6x^{2} + C$.
D.

$- \sin x + C$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa và hàm số lượng giác:

${\int{x^{\alpha}dx}} = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$, ${\int{\cos xdx}} = \sin x + C$.

Lời giải chi tiết :

${\int{(\cos x + 6x)dx}} = \sin x + 3x^{2} + C$.

Câu 9 :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 5]. Biết ${\int_{1}^{3}f}(x)dx = 4$ và ${\int_{3}^{5}f}(x)dx = - 2$. Giá trị của $I = {\int_{1}^{5}f}(x)dx$ bằng

A.

I = 6.
B.

I = 2.
C.

I = -8.
D.

I = -2.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân: ${\int_{a}^{c}f}(x)dx = {\int_{a}^{b}f}(x)dx + {\int_{b}^{c}f}(x)dx$.

Lời giải chi tiết :

$I = {\int_{1}^{5}f}(x)dx = {\int_{1}^{3}f}(x)dx + {\int_{3}^{5}f}(x)dx = 4 + ( - 2) = 2$.

Câu 10 :

Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2024 của một lớp 12 thu được kết quả như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu thống kê trên bằng

A.

7.
B.

6.
C.

8.
D.

10.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa số liệu).

Lời giải chi tiết :

R = 9 – 3 = 6.

Câu 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 0; 0) tới mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 bằng

A.

3.
B.

$\sqrt{3}$.
C.

9.
D.

1.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right)$ và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (với $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$).

Khoảng cách từ M đến (P) được tính bằng công thức: $d\left( {M,(P)} \right) = \dfrac{\left| {Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D} \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$.

Lời giải chi tiết :

$d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{\left| {2.1 + 2.0 - 1.0 + 1} \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + {( - 1)}^{2}}} = 1$.

Câu 12 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$: x + 2y - 3z + 2 = 0?

A.

K(1; 0; 1).
B.

N(3; 4; -2).
C.

M(-1; 3; 0).
D.

P(2; -3; 1).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay tọa độ của các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Thấy 1 + 2.0 - 3.1 + 2 = 0 nên K(1; 0; 1) thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

a) A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

Đúng

Sai

b) Xác suất để đồng thời cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi màu xanh bằng $\frac{1}{140}$.

Đúng

Sai

c) Xác suất để chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất bằng $\frac{25}{28}$.

Đúng

Sai

d) Tổng số viên bi màu đỏ ở hai hộp bằng 8.

Đúng

Sai

Đáp án

a) A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

Đúng

Sai

b) Xác suất để đồng thời cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi màu xanh bằng $\frac{1}{140}$.

Đúng

Sai

c) Xác suất để chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất bằng $\frac{25}{28}$.

Đúng

Sai

d) Tổng số viên bi màu đỏ ở hai hộp bằng 8.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

b) Đúng. AB là biến cố "Cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi xanh".

Ta có: $P(AB) = P(A)P(B) = \frac{1}{140}$.

c) Đúng. $A$ là biến cố "Chọn được 2 viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất"

$\Rightarrow \overline{A}$ là biến cố "Chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất".

Xác suất cần tìm là $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}$.

d) Sai. Giả sử ở hộp thứ nhất có x viên bi xanh, điều kiện x < 8 và $x \in \mathbb{N}^*$;

Phép thử: "Chọn 2 viên bi từ hộp thứ nhất".

$n(\Omega) = C_8^2$ và $n(A) = C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.

Mặt khác $P(A) = \frac{3}{28} \Leftrightarrow \frac{x(x-1)}{56} = \frac{3}{28} \Leftrightarrow x = 3$;

Do đó trong hộp thứ nhất có 3 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu đỏ.

Giả sử ở hộp thứ hai có y viên bi, điều kiện y > 2 và $y \in \mathbb{N}$.

Phép thử: "Chọn 2 viên bi từ hộp thứ hai".

Ta có $n(\Omega) = C_y^2 = \frac{y(y-1)}{2}$ và $n(B) = C_2^2 = 1$.

Mặt khác $P(B) = \frac{1}{15} \Leftrightarrow \frac{2}{y(y-1)} = \frac{1}{15} \Leftrightarrow y = 6$.

Do đó trong hộp thứ hai có 2 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu đỏ.

Tổng số bi đỏ ở cả hai hộp là 9.

Câu 2 :

a) Vận tốc của drone tại thời điểm $t$ là $v(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

Đúng

Sai

b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu.

Đúng

Sai

c) Trong khoảng $0 < t \leq 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần.

Đúng

Sai

d) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 m.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Vận tốc của drone tại thời điểm $t$ là $v(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

Đúng

Sai

b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu.

Đúng

Sai

c) Trong khoảng $0 < t \leq 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần.

Đúng

Sai

d) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 m.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vận tốc của drone là $v(t) = h'(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

b) Sai. Drone luôn bay lên khi vận tốc dương: $v(t) > 0 $

$\Leftrightarrow h'(t) > 0 \Leftrightarrow -0,15t^2 + 1,2t + 3 > 0 \Leftrightarrow -2 < t < 10$.

c) Đúng. Thang nâng từ mặt sân với vận tốc không đổi 1 m/s nên độ cao của thang nâng: $g(t) = t$

Drone và thang nâng cùng độ cao: $h(t) = g(t)$

$ \Leftrightarrow -0,05t^3 + 0,6t^2 + 3t = t $

$\Leftrightarrow -0,05t^3 + 0,6t^2 + 2t = 0$

$\Leftrightarrow \left[
\begin{aligned}
t &= 0 \ (l) \\
t &= 6 + \sqrt{76} \ (tm) \\
t &= 6 - \sqrt{76} \ (l)
\end{aligned}
\right.$

Drone và thang nâng cùng độ cao đúng 1 lần.

d) Sai. $h'(t) = 0 \Leftrightarrow -0,15t^2 + 1,2t + 3 = 0 $

$\Leftrightarrow \left[
\begin{aligned}
t &= 10 \in (0;15) \\
t &= -2 \notin (0;15)
\end{aligned}
\right.$

Ta có h(0) = 0; h(10) = 40; h(15) = 11,25.

Độ cao lớn nhất của drone là 40 m > 39 m.

Câu 3 :

a) Quãng đường ô tô A đi được sau khi đạp phanh 2 giây là 24 m.

Đúng

Sai

b) Kể từ lúc đạp phanh, sau thời gian t = 5 giây thì ô tô A dừng lại.

Đúng

Sai

c) Quãng đường ô tô A đi được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn được tính bởi công thức $s = \int_{0}^{4} (15 - 3t)dt$.

Đúng

Sai

Đúng

Sai

Đáp án

a) Quãng đường ô tô A đi được sau khi đạp phanh 2 giây là 24 m.

Đúng

Sai

b) Kể từ lúc đạp phanh, sau thời gian t = 5 giây thì ô tô A dừng lại.

Đúng

Sai

c) Quãng đường ô tô A đi được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn được tính bởi công thức $s = \int_{0}^{4} (15 - 3t)dt$.

Đúng

Sai

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Ứng dụng tích phân để giải.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $s = \int_{0}^{2} v(t)dt = \int_{0}^{2} (15 - 3t)dt = (15t - \frac{3t^2}{2}) \bigg|_{0}^{2} = 24$ (m).

b) Đúng. Để tìm thời điểm ô tô dừng lại, ta giải phương trình v(t) = 0.

Vậy ô tô dừng lại sau 5 giây kể từ lúc đạp phanh.

c) Sai. Quãng đường s là tích phân của vận tốc theo thời gian từ thời điểm bắt đầu (t = 0) đến thời điểm dừng lại (t = 5).

$s = \int_{0}^{5} v(t)dt = \int_{0}^{5} (15 - 3t) dt$.

d) Sai. Quãng đường ô tô A đi được từ lúc phanh đến khi dừng hẳn:

$s = \int_{0}^{5} v(t)dt = \int_{0}^{5} (15 - 3t) dt = (15t - \frac{3t^2}{2}) \bigg|_{0}^{5} = 37,5$ (m).

Theo quy định an toàn, khi dừng lại ô tô A phải cách ô tô B tối thiểu 1 m.

Khoảng cách tối thiểu từ xe A đến xe B tại thời điểm bắt đầu đạp phanh phải là: $d_{\text{min}} = 37,5 + 1 = 38,5$ (m).

Câu 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -3; 2), B(-2; 1; -3).

a) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z + 2 = 0.

Đúng

Sai

b) Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

Đúng

Sai

c) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó độ dài đoạn thẳng AH bằng 6.

Đúng

Sai

d) Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng 7.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z + 2 = 0.

Đúng

Sai

b) Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

Đúng

Sai

c) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó độ dài đoạn thẳng AH bằng 6.

Đúng

Sai

d) Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng 7.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto, phương trình mặt phẳng trong không gian.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. (P) // (Oxy) $\Rightarrow (P): z + d = 0$.

$A(1; -3; 2) \in (P) \Rightarrow d = -2$.

$\Rightarrow (P): z - 2 = 0$.

b) Đúng. Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

c) Sai. $BH = d(B; (P)) = 5$, $AB = 5\sqrt{2}$, $AH = \sqrt{AB^2 - HB^2} = 5$.

d) Sai. Nhận xét: A, B khác phía đối với mặt phẳng (Oxy).

Gọi K là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho AMNK là hình bình hành.

$|AM - BN| = |AM - B'N| = |KN - B'N| \leq KB'$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow B'$ thuộc đoạn thẳng KN.

$KB' = \sqrt{B'H^2 + HK^2} \leq \sqrt{B'H^2 + (HA + AK)^2}$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow A$ thuộc đoạn thẳng KH.

$B'H = d(B'(P)) = 1$; HA = 5; AK = MN = 1

$\Rightarrow |AM - BN| \leq KB' \leq \sqrt{1^2 + (5+1)^2} = \sqrt{37}$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ A thuộc đoạn thẳng KH và B' thuộc đoạn thẳng KN. Tìm được K $\Rightarrow$ xác định được M, N.

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 :

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu đồ Venn.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán.

x là số học sinh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.

y là số học sinh chỉ thích hai môn là Sử và Toán.

z là số học sinh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.

Ta có số học sinh thích ít nhất một môn là 45 – 6 = 39 (học sinh).

Ta có biểu đồ Venn:

Dựa vào biểu đồ Venn ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {a + x + z + 5 = 25} \\ {b + y + z + 5 = 18} \\ {c + x + y + 5 = 20} \\ {x + y + z + a + b + c + 5 = 39} \end{array} \right.\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}\begin{matrix} {(1)} \\ {(2)} \\ {(3)} \\ {(4)} \end{matrix}$.

Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: $a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 63$ (5).

Từ (4) và (5) ta có: $a + b + c + 2(39 - 5 - a - b - c) + 15 = 63$

$\left. \Leftrightarrow a + b + c = 20 \right.$.

Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

Câu 2 :

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của cấp số cộng, liệt kê các trường hợp và áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng để tính số kết quả.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Giả sử các số trên 3 thẻ lập thành cấp số cộng với số hạng đầu là a, công sai d, với $a \in {\mathbb{N}}^{*}$, $d \in {\mathbb{N}}^{*}$.

Tổng các số trên 3 thẻ không vượt quá 150 nên ta có $a + a + d + a + 2d \leq 150$ $\left. \Leftrightarrow a + d \leq 50 \right.$.

Vì $a \in {\mathbb{N}}^{*}$, $d \in {\mathbb{N}}^{*}$.

+) Với d = 1 thì $a \leq 49$, với mỗi số tự nhiên $a \in {\mathbb{N}}^{*}$ ta có 1 cấp số cộng. Do đó trường hợp này ta thu được 49 cấp số cộng thỏa mãn.

+) Với d = 2 thì $a \leq 48$, với mỗi số tự nhiên $a \in {\mathbb{N}}^{*}$ ta có 1 cấp số cộng. Do đó trường hợp này ta thu được 48 cấp số cộng thỏa mãn.

….

Cứ tiếp tục như vậy khi d = 49 thì $a \leq 1$, trường hợp này có 1 cấp số cộng thỏa mãn.

Do đó số cách chọn thỏa mãn là:

$49 + 48 + \ldots + 1 = \dfrac{49.50}{2} = 1225$.

Câu 3 :

Phương pháp giải :

Áp dụng thuật toán Dijkstra.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gán nhãn cho điểm xuất phát l(M) = 0 và coi đây là nhãn vĩnh viễn. Các đỉnh A,B,C,D lúc này có nhãn tạm thời dựa trên khoảng cách từ M: l(A) = 8, l(B) = 6, l(C) = 4, l(D) = 7.

So sánh các nhãn tạm thời, ta thấy l(C) = 4 là nhỏ nhất,. Ta chọn C làm điểm tiếp theo của hành trình.

Từ C, ta xem xét các gia đình chưa thăm (A, B, D).

- Khoảng cách đến A là l(C) + AC = 4 + 6 = 10.

- Khoảng cách đến B là l(C) + CB = 4 + 3 = 7.

- Khoảng cách đến D là l(C) + CD = 4 + 5 = 9.

Thấy hiện tại nhãn nhỏ nhất từ các lựa chọn là l(B) = 7. Ta chọn B là điểm tiếp theo.

Từ B, ta còn A và D. Do tuyến đường từ B đến A bị chặn, nên đi đến D trước, rồi tới A:

l(B) + BD + DA = 7 + 4 + 5 = 16.

Câu 4 :

Phương pháp giải :

Để tính khoảng cách giữa đường thẳng d và d’ chéo nhau, ta tính khoảng cách từ d đến mặt phẳng (P) chứa d’ và song song với d. Đưa về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi M, M' lần lượt là trung điểm cạnh BC, B'C'.

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {A'M\bot(ABC)} \\ {BC \subset (ABC)} \end{array} \right.\Rightarrow A'M\bot BC \right.$.

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {BC\bot A'M} \\ {BC\bot AM} \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot(MAA')\Rightarrow BC\bot AA'\Rightarrow BC\bot MM' \right.$.

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {(C'BC) \cap (ABC) = BC} \\ {MM' \subset (C'BC),MM'\bot BC} \\ {AM \subset (ABC),AM\bot BC} \end{array} \right.\Rightarrow\lbrack C';BC;A\rbrack = AMM' \right.$

$\left. \Rightarrow AMM' = 135^{o}\Rightarrow MAA' = 45^{o} \right.$.

Suy ra tam giác AMA' vuông cân tại $\left. M\Rightarrow MA' = MA = \sqrt{6} \right.$.

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ: $O \equiv M$, các điểm A, B, A' lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz.

M(0; 0; 0), $A(\sqrt{6};0;0)$, $B(0;\sqrt{2};0)$, $C(0; - \sqrt{2};0)$, $A'(0;0;\sqrt{6})$.

$\left. \overset{\rightarrow}{CC^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = ( - \sqrt{6};0;\sqrt{6})\Rightarrow C'( - \sqrt{6}; - \sqrt{2};\sqrt{6}) \right.$, $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}B} = (0;\sqrt{2}; - \sqrt{6})$, $AC' = ( - 2\sqrt{6}; - \sqrt{2};\sqrt{6})$.

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa AC' và song song A'B. $(\alpha)$ có vecto pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack A'B,AC'\rbrack = (0;12;4\sqrt{3})$.

Phương trình mặt phẳng $(\alpha):\sqrt{3}y + z = 0$.

$d(AC';A'B) = d(A'B;(\alpha)) = d(A';(\alpha)) = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,22$.

Câu 5 :

Phương pháp giải :

Lập hàm lợi nhuận và sử dụng kiến thức về hàm bậc hai để giải.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có hàm lợi nhuận: $P(x) = f(x) - g(x) - xt$

$= 2026x - x^{2} - (x^{2} + 1438x - 1209) - xt$

$= - 2x^{2} + 588x - xt + 1209$

$= - 2x^{2} + (588 - t)x + 1209$.

Khi lợi nhuận P(x) lớn nhất thì $x = \dfrac{- (588 - t)}{2( - 2)} = \dfrac{588 - t}{4}$.

Khi đó, số tiền thuế thu được là $xt = \dfrac{588 - t}{4}.t = \dfrac{588t - t^{2}}{4}$.

Số tiền thuế lớn nhất khi $t = - \dfrac{588}{2.( - 1)} = 294 \in (0;320)$ (thỏa mãn).

Câu 6 :

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi A.

Lập phương trình mặt phẳng $\left( {\alpha\ } \right)$ đi qua gốc tọa độ, nhận $\overset{\rightarrow}{n}\ = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{k}} \right\rbrack$ làm vecto pháp tuyến.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Quả bóng rơi xuống tại điểm $A(\sqrt{20};0,5;0)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$: x + by + cz + d = 0 đi qua O nên $d = 0$, điểm $A(\sqrt{20};0,5;0)$ thuộc $(\alpha)$ nên có $\left. \sqrt{20} + 0,5b = 0\Leftrightarrow b = - \dfrac{4}{\sqrt{5}} \right.$.

Mặt khác $(\alpha)$ vuông góc với mặt đất nên:

$\left. {\overset{\rightarrow}{n}}_{(\alpha)}\bot{\overset{\rightarrow}{n}}_{(Oxy)}\Leftrightarrow{\overset{\rightarrow}{n}}_{(\alpha)}.\overset{\rightarrow}{k} = 0\Leftrightarrow c = 0 \right.$.

Vậy mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là $(\alpha)$: $x - 4\sqrt{5}y = 0$.

Do đó: $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2} = - 240$.

👉

Giải bài nhanh với AI Hay: