Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Đề bài

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Tính AB, IJ theo a và x.

b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?

Lời giải chi tiết

a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.

Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)

Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} - {x^2}\) \(hay\,AJ = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)

Vậy \(AB = \sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \) với a > x

Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên \(JI = {1 \over 2}AB,\) tức là \(IJ = {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} .\)

+Tam giác ABC có AC = BC

nên tam giác ABC cân tại C,

có CI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

CI ⊥ AB (3)

Tam giác ABD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên

DI ⊥ AB (4)

Hai mp (ABC) và (ABD) cắt nhau theo giao tuyến là AB (5)

Từ (3) , (4) và (5) suy ra góc giữa hai mp(ABC) và (ABD) là góc CID.

Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) \( \Leftrightarrow \widehat {CID} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow IJ = {1 \over 2}CD\) \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} = {1 \over 2}.2x\) \(\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2}\)

\(\Leftrightarrow x = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90˚); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng
Câu 26 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.
Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.
Câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Câu 22 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu Thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không ? Vì sao ?
Câu 21 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Các mệnh đề sau đúng hay sai ?