Lý thuyết Tích của một số với một vecto


1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)

+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\)

              Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)

              Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)

+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \)\(k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:

 \(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}\)

 

 

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

+) Hai vecto \(\overrightarrow a \)\(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\)         

+) Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .\)

+) Chú ý:

 

Cho hai vecto \(\overrightarrow a \)\(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow b \)

CHƯƠNG V. VECTƠ

BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTO

 

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)

+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\)

              Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)

              Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)

+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \)\(k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:

 

 

 

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

+) Hai vecto \(\overrightarrow a \)\(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\)         

+) Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .\)

+) Chú ý:

Cho hai vecto \(\overrightarrow a \)\(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow b \)

 

 

 

 

Trắc nghiệm

Câu 1. ID 11898

Câu 2. ID 11897

Câu 3. Cho hình vẽ sau:

 

a) Vecto nào sau đây bằng \(\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)?

A. \(\overrightarrow {FB} \)

B. \(\overrightarrow {AF} \)

C. \(\overrightarrow {DA} \)

D. \(\overrightarrow {BG} \)

b) Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\overrightarrow {DF}  = 2\overrightarrow {AD} \)

B. \(\overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {LJ} \)

C. \(\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {CI}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

D. \(\overrightarrow {LJ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Phương pháp

a) Vecto \(\overrightarrow a  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  \Rightarrow a = \frac{1}{4}AB\) và hai vecto này cùng hướng.

b) Kiểm tra từng khẳng định

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy \(\overrightarrow {FB} \)\(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(FB = \frac{1}{4}AB\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {FB}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)

Chọn A

b)

\(\overrightarrow {DF}  = 2\overrightarrow {AD} \) đúng vì \(\overrightarrow {DF} ,\;\overrightarrow {AD} \) cùng hướng và \(DF = 2AD\) => Loại A

\(\overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {LJ} \) đúng vì \(\overrightarrow {DF}  + \overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {LE}  + \overrightarrow {EJ}  = \overrightarrow {LJ} \) => Loại B

\(\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {CI}  =  - \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) sai vì \(\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng, do đó \(\overrightarrow {BG}  \ne  - \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {LJ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) đúng.

Chọn C

 

Câu 4: Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính \(\overrightarrow {MN} \) theo các vecto cạnh của tứ giác:

A. \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

B. \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

C. \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

D. \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

Phương pháp giải

Tính \(\overrightarrow {MN} \) bằng cách chèn điểm, lưu ý các vecto cùng phương \(\overrightarrow {AM} \& \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CN} \& \overrightarrow {CD.} \)

Lời giải chi tiết

 

 

Ta có:

 \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \)

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

Chọn C

 

Câu 5. Cho hình vuông ABCD, tâm O, cạnh 4cm. Điểm E, H lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho:

\(\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)\(\overrightarrow {CH}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {CD} \). Độ dài vecto \(|\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH} |\) là:

 

A. 0

B. 1

C. 4

D. \(4\sqrt 2 \)

 

Phương pháp

Bước 1: Lấy M, N là trung điểm BC, CD. Nhận xét độ dài các đoạn DH, HN và BE, EM.

Bước 2: Tính vecto \(\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {OH} \) dựa vào tính chất trung điểm

Bước 3: Tìm vecto \(\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH} \), từ đó suy ra độ dài của vecto.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.

 

Ta có: \(\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {EM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)\(\overrightarrow {DH}  = \overrightarrow {HN}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \) E, H là trung điểm của BM và DN

\( \Rightarrow \overrightarrow {OE}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OM} ),\;\;\overrightarrow {OH}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {ON} )\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {ON} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \)

\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OH} } \right| = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}.4\sqrt 2  = \sqrt 2 \)

Chọn D.

 

Câu 6. Chất điểm A chị tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}} \) như hình dưới và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0 \)). biết \(\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn là 50N, độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) là:

 

A. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25\sqrt 3 N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25N\)

B. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25N,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{25}}{{\sqrt 3 }}N\)

C. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25N\)

D. Đáp án khác

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  =  - \;\overrightarrow {{F_3}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| { - \;\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\)

Dựng hình bình hành (hay hình chữ nhật) ABCD, ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 50\)

 

Lại có: \(\widehat {EAB} = {120^ \circ } \Rightarrow \widehat {CAB} = {60^ \circ }\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50.\cos {60^ \circ } = 25\\BC = AD = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 50.\sin {60^ \circ } = 25\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Chọn A.

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.