Sự biến thiên của hàm số>
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
1. Lý thuyết
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a;b).
+ Định nghĩa:
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.
+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên
Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên. Trong đó:
Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.
Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.
+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị
Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
+ Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chứng minh hàm số \(y = 2{x^2}\)đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Xét hai số bất kì \({x_1},{x_2} \in (0; + \infty )\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Ta có: \(0 < {x_1} < {x_2}\) nên \(2{x_1}^2 < 2{x_2}^2\) hay \(f({x_1}) < f({x_2})\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Ví dụ 2. Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^2} + 1\)
- Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
- Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số \(y = f(x)\)
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng (2;5)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-4;2)