Tính chẵn lẻ của hàm số

1. Lý thuyết

+ Định nghĩa:

Cho hàm số $y = f(x)$ có tập xác định D.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f( - x) = f(x)$

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f( - x) =  - f(x)$

+ Nhận xét:

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số $y = f(x)$

Bước 2: Chứng minh D là tập đối xứng, tức là $\forall x \in D$ suy ra $- x \in D$

Bước 3: Tính $f( - x)$

• Nếu $f( - x) = f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $y = f(x)$ là hàm số chẵn
• Nếu $f( - x) =  - f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $y = f(x)$ là hàm số lẻ
• Nếu có ${x_0} \in D$ sao cho $\left\{ \begin{array}{l}f( - x) \ne f(x)\\f( - x) \ne  - f(x)\end{array} \right.$ thì hàm số $y = f(x)$ không chẵn, không lẻ.

2. Ví dụ minh họa

Hàm số chẵn

$y = 2$; $y = a{x^2}$ (với a là hằng số cho trước)

Hàm số lẻ

$y = {x^3}$; $y = \frac{1}{x}$

Hàm số không chẵn, không lẻ

$y = x + 1$; $y = 2{x^2} - 5x + 3$

Đặc biệt: Hàm số $y = 0$ là hàm vừa chẵn vừa lẻ.

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số

a) $y = 2022x$

b) $y = 3{x^2} + 5$

c) $y = \sqrt {1 - x}$

d) $y = \;|x - 2|$

Lời giải chi tiết

a) Hàm số $f(x) = 2022x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$\forall x \in \mathbb{R}$ suy ra $- x \in \mathbb{R}$

Ta có: $f( - x) = 2022.( - x) =  - 2022x =  - f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = 2022x$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $f(x) = 3{x^2} + 5$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$\forall x \in \mathbb{R}$ suy ra $- x \in \mathbb{R}$

Ta có: $f( - x) = 3{( - x)^2} + 5 = 3{x^2} + 5 = f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = 3{x^2} + 5$ là hàm số chẵn.

c) Hàm số $y = \sqrt {1 - x}$ có tập xác định $D = ( - \infty ;1]$.

Với $x =  - 2 \in D$ thì $- x = 2 \notin D$

$\Rightarrow$ D không là tập đối xứng.

Vậy hàm số không chẵn, không lẻ

d) Hàm số  $y = \;|x - 2|$có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$\forall x \in \mathbb{R}$ suy ra $- x \in \mathbb{R}$

Tại $x = 1 \in D$ ta có: $f( - 1) = | - 1 - 2| = 3;f(1) = |1 - 2| = 1; - f(1) =  - 1$

 $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f( - 1) \ne f(1)\\f( - 1) \ne  - f(1)\end{array} \right.$

Vậy hàm số $y = \;|x - 2|$ không chẵn, không lẻ.