Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống
Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 kết nối t..
Giải mục 4 trang 36 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng (y = 1) cắt đồ thị hàm số (y = tan x) tại mấy điểm trên khoảng (left( { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right)?)
HĐ4
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại mấy điểm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Phương pháp giải:
Nghiệm của phương trình \(\tan x = 1\) là hoành độ các giao điểm của đường thẳng \(y = 1\) và đồ thị hàm số \(y = \tan x\).
Lời giải chi tiết:
a) Từ Hình 1.24, ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại 1 điểm \(x = \frac{\pi }{4}\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
b) Hàm số $ y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.
Ta có công thức nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
LT4
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 3 \tan 2x = - 1\);
b) \(\tan 3x + \tan 5x = 0\).
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:
\(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \)
\(\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) ĐKXĐ: \(\cos 2x \ne 0 \)
\(\Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)
\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\) \((k \in \mathbb{Z})\).
Phương trình tương đương:
\(\tan 2x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Leftrightarrow \tan 2x = \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} + l\pi \)
\(\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{l\pi }}{2}\) \((l \in \mathbb{Z})\).
Kết hợp với ĐKXĐ:
\(\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \ne - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{l\pi }}{2} \Leftrightarrow l - k \ne \frac{2}{3}\).
Vì k, l nguyên nên \(l - k \ne \frac{2}{3}\) luôn đúng.
Do đó, nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{l\pi }}{2}\) \((l \in \mathbb{Z})\).
b) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 3x \ne 0}\\{\cos 5x \ne 0}\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{5x \ne \frac{\pi }{2} + l\pi }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}}\\{x \ne \frac{\pi }{{10}} + \frac{{l\pi }}{5}}\end{array}} \right.\) \((k,l \in \mathbb{Z})\).
Phương trình tương đương:
\(\tan 3x = - \tan 5x \)
\(\Leftrightarrow \tan 3x = \tan ( - 5x)\)
\( \Leftrightarrow 3x = - 5x + m\pi \)
\(\Leftrightarrow 8x = m\pi \)
\( \Leftrightarrow x = \frac{{m\pi }}{8}\) \((m \in \mathbb{Z})\).
Kết hợp ĐKXĐ:
+) \(\frac{{m\pi }}{8} \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3} \Leftrightarrow 3m \ne 4(2k + 1)\).
Xét \(3m = 4(2k + 1)\): Vì \(4(2k + 1)\) chia hết cho 4 nên 3m cũng phải chia hết cho 4. Mà ƯCLN(3, 4) = 1 nên m phải chia hết cho 4.
Vậy để \(3m \ne 4(2k + 1)\) thì m không chia hết cho 4.
Đặt m = 4u \((u \in \mathbb{Z})\). Khi đó:
\(3.4u = 4(2k + 1) \Leftrightarrow k = \frac{{3u - 1}}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow u\) là số lẻ.
Đặt t = 2v + 1 \((v \in \mathbb{Z})\). Khi đó:
\(m = 4(2v + 1) = 8v + 4\) (1)
+) \(\frac{{m\pi }}{8} \ne \frac{\pi }{{10}} + \frac{{l\pi }}{5} \Leftrightarrow 5m \ne 4(2l + 1)\).
Xét \(5m = 4(2l + 1)\): Vì \(4(2l + 1)\) chia hết cho 4 nên 5m cũng phải chia hết cho 4. Mà ƯCLN(5, 4) = 1 nên m phải chia hết cho 4.
Đặt m = 4t \((t \in \mathbb{Z})\). Khi đó:
\(5.4t = 4(2l + 1) \Leftrightarrow l = \frac{{5t - 1}}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow t\) là số lẻ.
Đặt t = 2n + 1 \((n \in \mathbb{Z})\). Khi đó:
\(m = 4(2n + 1) = 8n + 4\) (2)
Từ (1) và (2), ta được phương trình có nghiệm \(x = \frac{{m\pi }}{8}\) với \(m \ne 8n + 4\) \((m,n \in \mathbb{Z})\).
Chú ý: Có thể sử dụng đường tròn lượng giác để loại nghiệm.
Bình luận
Chia sẻ
- Giải mục 5 trang 37 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Giải mục 6 trang 38 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Bài 1.19 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Bài 1.20 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Bài 1.21 trang 39 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải câu hỏi mở đầu trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Giải câu hỏi mở đầu trang 111 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Giải câu hỏi mở đầu trang 95 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Giải câu hỏi mở đầu trang 88 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
- Giải câu hỏi mở đầu trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Danh sách bình luận