Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài 15. Giới hạn của dãy số Toán 11 kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức


Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi ({u_1},;{u_2}, ldots ,;{u_n}, ldots ) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu. a) Tính tổng ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_n}) b) Tìm (S = mathop {lim}limits_{n to + infty } {S_n})

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 4

Video hướng dẫn giải

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \({u_1},\;{u_2}, \ldots ,\;{u_n}, \ldots \) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng \({S_n} = {u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_n}\)

b) Tìm \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {S_n}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để tìm ra biểu thức \({S_n}\). Sau đó tìm giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_n} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).

a) \({S_n} = \frac{{\frac{1}{2} \times \left( {\frac{1}{{{2^n}}} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} - 1}} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}\).

b) \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {S_n}= \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\; = 1\).

LT 4

Video hướng dẫn giải

Tính tổng \(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{7^2}} +  \ldots  + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} +  \ldots \).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

.

Lời giải chi tiết:

\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} +  \ldots  + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} +  \ldots  = 2 \times \left( {1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{49}} +  \ldots  + \frac{1}{{{7^{n - 1}}}} +  \ldots } \right) = 2 \times \frac{1}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{7}{3}\).

VD 2

Video hướng dẫn giải

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100km.h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100(km)

a) Tính thời gian \({t_1},\;{t_2}, \ldots ,{t_n}, \ldots \) tương ứng để Achilles đi từ \({A_1}\) đến \({A_2}\), từ \({A_2}\) đến \({A_3}\),…, từ \({A_n}\) đến \({A_{n + 1}}\),…

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2},\;{A_2}{A_3}, \ldots ,\;{A_n}{A_{n + 1}}\),… tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Phương pháp giải:

Để tính tổng thời gian chạy hết quãng đường, ta sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Lời giải chi tiết:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ \({A_1}\) đến \({A_2}\) với \({A_1}{A_2} = a = 100\)(km), Achilles phải mất thời gian \({t_1} = \frac{{100}}{{100}} = 1(h)\). Với thời gian \({t_1}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_2}{A_3} = 1(km)\).

Để chạy hết quãng đường từ \({A_2}\)đến \({A_3}\)với \({A_2}{A_3} = 1(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_2} = \frac{1}{{100}}(h)\). Với thời gian \({t_2}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_3}{A_4} = \frac{1}{{100}}(km)\)

Để chạy hết quãng đường từ \({A_n}\)đến \({A_{n + 1}}\)với \({A_n}{A_{n + 1}} = \frac{1}{{{{100}^{ - 2}}}}(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_n} = \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}(h)\).

b) Tổng thời gian cần thiết để chạy hết quãng đường từ \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_{n + 1}},...\)tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...(h)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1,q = \frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}} = 1\frac{1}{{99}}(h)\)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau: \(1\frac{1}{{99}}(h)\)

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store