Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống

Bài 15. Giới hạn của dãy số Toán 11 kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi ({u_1},;{u_2}, ldots ,;{u_n}, ldots ) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu. a) Tính tổng ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_n}) b) Tìm (S = mathop {lim}limits_{n to + infty } {S_n})

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 4

Video hướng dẫn giải

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \({u_1},\;{u_2}, \ldots ,\;{u_n}, \ldots \) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng \({S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_n}\)

b) Tìm \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {S_n}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để tìm ra biểu thức \({S_n}\). Sau đó tìm giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_n} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).

a) \({S_n} = \frac{{\frac{1}{2} \times \left( {\frac{1}{{{2^n}}} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} - 1}} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}\).

b) \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {S_n}= \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\; = 1\).

LT 4

Video hướng dẫn giải

Tính tổng \(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{7^2}} + \ldots + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots \).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết:

\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} + \ldots + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots = 2 \times \left( {1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{49}} + \ldots + \frac{1}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots } \right) = 2 \times \frac{1}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{7}{3}\).

VD 2

Video hướng dẫn giải

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100km.h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100(km)

a) Tính thời gian \({t_1},\;{t_2}, \ldots ,{t_n}, \ldots \) tương ứng để Achilles đi từ \({A_1}\) đến \({A_2}\), từ \({A_2}\) đến \({A_3}\),…, từ \({A_n}\) đến \({A_{n + 1}}\),…

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2},\;{A_2}{A_3}, \ldots ,\;{A_n}{A_{n + 1}}\),… tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Phương pháp giải:

Để tính tổng thời gian chạy hết quãng đường, ta sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Lời giải chi tiết:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ \({A_1}\) đến \({A_2}\) với \({A_1}{A_2} = a = 100\)(km), Achilles phải mất thời gian \({t_1} = \frac{{100}}{{100}} = 1(h)\). Với thời gian \({t_1}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_2}{A_3} = 1(km)\).

Để chạy hết quãng đường từ \({A_2}\)đến \({A_3}\)với \({A_2}{A_3} = 1(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_2} = \frac{1}{{100}}(h)\). Với thời gian \({t_2}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_3}{A_4} = \frac{1}{{100}}(km)\)

Để chạy hết quãng đường từ \({A_n}\)đến \({A_{n + 1}}\)với \({A_n}{A_{n + 1}} = \frac{1}{{{{100}^{ - 2}}}}(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_n} = \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}(h)\).

b) Tổng thời gian cần thiết để chạy hết quãng đường từ \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_{n + 1}},...\)tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...(h)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1,q = \frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}} = 1\frac{1}{{99}}(h)\)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau: \(1\frac{1}{{99}}(h)\)

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 4 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kỳ 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi. a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn ({u_n}) sau chu kì thứ n b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}); b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {sqrt {{n^2} + 2n} - n} right))
Bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hai dãy số không âm (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} = 2) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n} = 3). Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}};;) b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } sqrt {{u_n} + 2{v_n}} )
Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi a) ({u_n} = frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}) b) ({v_n} = sqrt {2{n^2} + 1} - n)
Bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số a) 1, (12) = 1, 121212…; b) 3, (102) = 3, 102102102…
Bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng (alpha ) (H.5.3). Từ A kẻ (A{A_1} bot BC), từ ({A_1}) kẻ ({A_1}{A_2} bot AC), sau đó lại kẻ ({A_2}{A_3} bot BC). Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn (A{A_1}{A_2}{A_3} ldots ) Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và (alpha )
Giải mục 2 trang 106,107 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với ({u_n} = 2 + frac{1}{n},;;;{v_n} = 3 - frac{2}{n}) Tính và so sánh: (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {{u_n} + {v_n}} right)) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} + mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n})
Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{{{{left( { - 1} right)}^n}}}{n}) a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ({u_n}) đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số