Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống

Bài 15. Giới hạn của dãy số Toán 11 kết nối tri thức

Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{{{{left( { - 1} right)}^n}}}{n}) a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ({u_n}) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức số hạng tổng quát tìm được 5 số hạng đầu tiên và biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết:

a) \({u_1} = - 1;\;\;{u_2} = \frac{1}{2};\;\;{u_3} = - \frac{1}{3};\;\;{u_4} = \frac{1}{4};\;\;{u_5} = - \frac{1}{5}\).

b) Ta có: \({u_{100}} = 0,01\) suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0,01.

LT1

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0\).

Phương pháp giải:

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {{u_n}} \right| = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| < 1.69 \times {10^{ - 5}}\) ta cần n > 10.

Vậy các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn \(1.69 \times {10^{ - 5}}\).

HĐ2

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }{v_n}\).

Phương pháp giải:

Dãy sô \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\left( {{u_n} - a} \right)= 0\).

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n} - n}}{n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Do vậy \({v_n}= 0\).

LT2

Video hướng dẫn giải

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).

Phương pháp giải:

\({u_n} = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = \frac{{3 . {2^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{3 . {2^n} - 1 - 3 . {2^n}}}{{{2^n}}} = - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Do vậy \({u_n} = 3\).

VD1

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi vận dụng 1 trang 106 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Phương pháp giải:

\({u_n} = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right) = 0\).

Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Độ cao quả bóng sau 1 lần chạm sàn: \({u_1} = 5.\frac{2}{3}\) (m).

Độ cao quả bóng sau 2 lần chạm sàn: \({u_2} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) (m).

…

Độ cao quả bóng sau n lần chạm sàn: \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) (m).

Vì \(|q| = \frac{2}{3} < 0\) nên \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Khi đó giới hạn của \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng 0.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.5 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 2 trang 106, 107 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với ({u_n} = 2 + frac{1}{n},;;;{v_n} = 3 - frac{2}{n}) Tính và so sánh: (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {{u_n} + {v_n}} right)) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} + mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n})
Giải mục 3 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi ({u_1},;{u_2}, ldots ,;{u_n}, ldots ) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu. a) Tính tổng ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_n}) b) Tìm (S = mathop {lim}limits_{n to + infty } {S_n})
Giải mục 4 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kỳ 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi. a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn ({u_n}) sau chu kì thứ n b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?
Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}); b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {sqrt {{n^2} + 2n} - n} right))
Bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hai dãy số không âm (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} = 2) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n} = 3). Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}};;) b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } sqrt {{u_n} + 2{v_n}} )
Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi a) ({u_n} = frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}) b) ({v_n} = sqrt {2{n^2} + 1} - n)
Bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số a) 1, (12) = 1, 121212…; b) 3, (102) = 3, 102102102…
Bài 5.5 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng (alpha ) (H.5.3). Từ A kẻ (A{A_1} bot BC), từ ({A_1}) kẻ ({A_1}{A_2} bot AC), sau đó lại kẻ ({A_2}{A_3} bot BC). Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn (A{A_1}{A_2}{A_3} ldots ) Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và (alpha )
Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số