-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi THPT QG chính thức - 2021 lần 1 - mã đề 101
Đề bài
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} < 2\) là
-
A.
\(\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)\)
-
B.
\(\left( {{{\log }_3}2; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left( { - \infty ;{{\log }_2}3} \right)\)
-
D.
\(\left( {{{\log }_2}3; + \infty } \right)\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nếu \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right).dx} = 3\) và \(\int\limits_1^4 {g\left( x \right).dx} = - 2\) thì \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right].dx} \) bằng:
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\( - 5\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(1\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(O\,xyz\) , cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 4;0} \right)\) và bán kính bằng 3. Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
-
A.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 9\)
-
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9\)
-
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 3\)
-
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 3\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không giam \(O\,xyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {3; - 1;4} \right)\) và có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;4;5} \right)\). Phương trình của \(d\) là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 4 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
A.
\(5\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(4\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
-
A.
\(y = - 2{x^4} + 4{x^2} - 1\)
-
B.
\(y = - {x^3} + 3x - 1\)
-
C.
\(y = 2{x^4} - 4{x^2} - 1\)
-
D.
\(y = {x^3} - 3x - 1\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
A.
\(0\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(-3\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Với \(n\) là số nguyên dương bất kì, \(n \ge 4\), công thức nào dưới đây đúng?
-
A.
\(A_n^4 = \dfrac{{\left( {n - 4} \right)!}}{{n!}}\)
-
B.
\(A_n^4 = \dfrac{{4!}}{{\left( {n - 4} \right)!}}\)
-
C.
\(A_n^4 = \dfrac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}}\)
-
D.
\(A_n^4 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 4} \right)!}}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Phần thực của số phức \(z = 5 - 2i\) bằng
-
A.
\(5\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(-5\)
-
D.
\(-2\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), đạo hàm của hàm số \(y = {x^{\frac{5}{2}}}\) là
-
A.
\(y' = \dfrac{2}{7}.{x^{\frac{7}{2}}}\)
-
B.
\(y' = \dfrac{2}{5}.x^{\frac{3}{2}}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{5}{2}.{x^{\frac{3}{2}}}\)
-
D.
\(y' = \dfrac{5}{2}.{x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 4\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x + C\)
-
B.
\(\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + 4x + C\)
-
C.
\(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\)
-
D.
\(\int {f\left( x \right)dx} = {x^3} + 4x + C\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(O\,xyz\), cho điểm \(A\left( { - 2;3;5} \right)\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OA} \) là
-
A.
\(\left( { - 2;3;5} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - 3;5} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 2; - 3;5} \right)\)
-
D.
\(\left( {2; - 3; - 5} \right)\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\( - 3\)
-
D.
\(1\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {0;1} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \infty ;0} \right)\)
-
C.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;1} \right)\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {5x} \right) = 2\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{8}{5}\)
-
B.
\(x = 9\)
-
C.
\(x = \dfrac{9}{5}\)
-
D.
\(x = 8\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nếu \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 4\) thì \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} \) bằng
-
A.
\(36\)
-
B.
\(12\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Thể tích của khối lập phương cạnh \(5a\) bằng
-
A.
\(5{a^3}\)
-
B.
\({a^3}\)
-
C.
\(125{a^3}\)
-
D.
\(25{a^3}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Tập xác định của hàm số \(y = {9^x}\) là
-
A.
\(\mathbb{R}\)
-
B.
\(\left[ {0; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
-
D.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) được tính theo công thức nào dưới đây?
-
A.
\(S = 16\pi {R^2}\)
-
B.
\(S = 4\pi {R^2}\)
-
C.
\(S = \pi {R^2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{4}{3}\pi {R^2}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) là đường thẳng có phương trình:
-
A.
\(x = 1\)
-
B.
\(x = - 1\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\), khi đó \({\log _a}\sqrt[4]{a}\) bằng
-
A.
\(4\)
-
B.
\(\dfrac{1}{4}\)
-
C.
\(-\dfrac{1}{4}\)
-
D.
\( - 4\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B = 5{a^2}\) và chiều cao \(h = a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{5}{6}{a^3}\)
-
B.
\(\dfrac{5}{2}{a^3}\)
-
C.
\(5{a^3}\)
-
D.
\(\dfrac{5}{3}{a^3}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(O\,xyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + 2z - 1 = 0\). Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;1;2} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1;2} \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;1;2} \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;1; - 2} \right)\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho khối trụ có bán kính đáy \(r = 6\) và chiều cao \(h = 3\). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
A.
\(108\pi \)
-
B.
\(36\pi \)
-
C.
\(18\pi \)
-
D.
\(54\pi \)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hai số phức \(z = 4 + 2i\) và \(w = 3 - 4i\). Số phức \(z + w\) bằng
-
A.
\(1 + 6i\)
-
B.
\(7 - 2i\)
-
C.
\(7 + 2i\)
-
D.
\( - 1 - 6i\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 9\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
-
A.
\( - 6\).
-
B.
\(\dfrac{1}{3}\).
-
C.
\(3\).
-
D.
\(6\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + 2\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^{x - 2}} + C} \).
-
B.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + 2x + C} \).
-
C.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + C} \).
-
D.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^x} - 2x + C} \).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm \(M\left( { - 3;4} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
-
A.
\({z_2} = 3 + 4i\).
-
B.
\({z_3} = - 3 + 4i\).
-
C.
\({z_4} = - 3 - 4i\).
-
D.
\({z_1} = 3 - 4i\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Biết hàm số \(y = \dfrac{{x + a}}{{x + 1}}\,\,(a\) là số thực cho trước, \(a \ne 1\)) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
\(y' < 0,\,\,\forall x \ne - 1\).
-
B.
\(y' > 0,\,\,\forall x \ne - 1\).
-
C.
\(y' < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
-
D.
\(y' > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Từ một hộp chứa \(12\) quả bóng gồm \(5\) quả màu đỏ và \(7\) quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) quả. Xác suất để lấy được \(3\) quả màu xanh bằng
-
A.
\(\dfrac{7}{{44}}\).
-
B.
\(\dfrac{2}{7}\).
-
C.
\(\dfrac{1}{{22}}\).
-
D.
\(\dfrac{5}{{12}}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\), hàm số \(y = - {x^3} + 3x\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm
-
A.
\(x = 0\).
-
B.
\(x = 3\).
-
C.
\(x = 1\).
-
D.
\(x = 2\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 4z + 1 = 0\). Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là
-
A.
\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\).
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{4}\).
-
D.
\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\),\(AB = 2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(C\)đến mặt phẳng \((SAB)\)bằng
-
A.
\(\sqrt 2 a\).
-
B.
\(2a\).
-
C.
\(a\).
-
D.
\(2\sqrt 2 a\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho hai điểm \(A(1;0;0)\)và \(B(4;1;2)\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) có phương trình là:
-
A.
\(3x + y + 2z - 17 = 0\).
-
B.
\(3x + y + 2z - 3 = 0\).
-
C.
\(5x + y + 2z - 5 = 0\).
-
D.
\(5x + y + 2z - 25 = 0\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(iz = 5 + 4i\). Số phức liên hợp của \(z\) là:
-
A.
\(\overline z = 4 + 5i\)
-
B.
\(\overline z = 4 - 5i\)
-
C.
\(\overline z = - 4 + 5i\)
-
D.
\(\overline z = - 4 - 5i\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng
-
A.
\({30^0}\).
-
B.
\({90^0}\).
-
C.
\({45^0}\)
-
D.
\({60^0}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Với mọi \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 6\), khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
\({a^3}b = 64\)
-
B.
\({a^3}b = 36\)
-
C.
\({a^3} + b = 64\)
-
D.
\({a^3} + b = 36\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nếu \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 5} \) thì \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} \) bằng
-
A.
8
-
B.
9
-
C.
10
-
D.
12
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 4\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) . Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên R thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng
-
A.
27.
-
B.
29.
-
C.
12.
-
D.
33.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)?
-
A.
24.
-
B.
Vô số.
-
C.
26.
-
D.
25.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) là
-
A.
9
-
B.
3
-
C.
6
-
D.
7
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cắt hình nón \(\left( \aleph \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({60^0}\), ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(4{\rm{a}}\). Diện tích xung quanh của \(\left( \aleph \right)\) bằng
-
A.
\(8\sqrt 7 \pi {a^2}\).
-
B.
\(4\sqrt {13} \pi {a^2}\).
-
C.
\(8\sqrt {13} \pi {a^2}\).
-
D.
\(4\sqrt 7 \pi {a^2}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 7\)?
-
A.
2
-
B.
3
-
C.
1
-
D.
4
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Xét các số phức \(z,\,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {\rm{w}} \right| = 2.\) Khi \(\left| {z + i\,\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\) bằng?
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt {221} }}{5}.\)
-
B.
\(\sqrt 5 \)
-
C.
\(3\).
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + 2y + z - 4 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình:
-
A.
\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
-
B.
\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\).
-
C.
\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 4}}.\)
-
D.
\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{1}.\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c\) là các số thực. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( - 3\) và \(6.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\) và \(y = 1\) bằng
-
A.
\(2\ln \,3.\)
-
B.
\(\ln 3.\)
-
C.
\(\ln 18.\)
-
D.
\(2\ln 2.\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \,\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) thỏa mãn \(27{\,^{3{{\rm{x}}^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9{\rm{x}}}}\,?\)
-
A.
27
-
B.
9
-
C.
11
-
D.
12
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông, \(BD = 2a,\) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B{\rm{D}}} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
-
A.
\(6\sqrt 3 \,{a^3}.\)
-
B.
\(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}{a^3}.\)
-
C.
\(2\sqrt 3 {a^3}.\)
-
D.
\(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}.\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {1; - 3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 2;1;2} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng.
-
A.
\(3\sqrt 5 .\)
-
B.
\(\sqrt {61.} \)
-
C.
\(\sqrt {13\,} .\)
-
D.
\(\sqrt {53} .\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 7} \right)\left( {{x^2} - 9} \right),\,\forall \,x \in \,\mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị?
-
A.
\(6.\)
-
B.
\(7.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(4.\)
Lời giải và đáp án
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} < 2\) là
-
A.
\(\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)\)
-
B.
\(\left( {{{\log }_3}2; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left( { - \infty ;{{\log }_2}3} \right)\)
-
D.
\(\left( {{{\log }_2}3; + \infty } \right)\)
Đáp án : A
Với \(a>1\): \({a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\).
Ta có \({3^x} < 2 \Leftrightarrow x < {\log _3}2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nếu \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right).dx} = 3\) và \(\int\limits_1^4 {g\left( x \right).dx} = - 2\) thì \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right].dx} \) bằng:
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\( - 5\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : C
Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).
\(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} \) \( = 3 - \left( { - 2} \right) = 5\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(O\,xyz\) , cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 4;0} \right)\) và bán kính bằng 3. Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
-
A.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 9\)
-
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9\)
-
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 3\)
-
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 3\)
Đáp án : B
Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 4;0} \right)\), bán kính \(R = 3\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không giam \(O\,xyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {3; - 1;4} \right)\) và có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;4;5} \right)\). Phương trình của \(d\) là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 4 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)
Đáp án : D
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
Phương trình của \(d\) đi qua điểm \(M\left( {3; - 1;4} \right)\) và có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;4;5} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 1 + 4t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
A.
\(5\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : D
Dựa vào bảng xét dấu xác định số điểm cực trị là số lần đạo hàm đổi dấu.
Do \(y'\) đổi dấu 4 lần nên hàm số có 4 điểm cực trị.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
-
A.
\(y = - 2{x^4} + 4{x^2} - 1\)
-
B.
\(y = - {x^3} + 3x - 1\)
-
C.
\(y = 2{x^4} - 4{x^2} - 1\)
-
D.
\(y = {x^3} - 3x - 1\)
Đáp án : A
Dựa vào đồ thị nhận dạng hàm số.
Đồ thị là dạng của hàm số bậc 4 trùng phương, nhánh cuối của đồ thị đi xuống \( \Rightarrow \) hệ số của \({x^4}\) mang dấu âm.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
A.
\(0\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(-3\)
Đáp án : D
Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục tung thì giao điểm có hoành độ \(x = 0\)
Thay \(x = 0\) vào $f(x)$ để tìm \(y\).
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\)
Với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y = - 3\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Với \(n\) là số nguyên dương bất kì, \(n \ge 4\), công thức nào dưới đây đúng?
-
A.
\(A_n^4 = \dfrac{{\left( {n - 4} \right)!}}{{n!}}\)
-
B.
\(A_n^4 = \dfrac{{4!}}{{\left( {n - 4} \right)!}}\)
-
C.
\(A_n^4 = \dfrac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}}\)
-
D.
\(A_n^4 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 4} \right)!}}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính chỉnh hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
Ta có \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \Rightarrow A_n^4 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 4} \right)!}}\,\,\left( {n \ge 4} \right)\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Phần thực của số phức \(z = 5 - 2i\) bằng
-
A.
\(5\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(-5\)
-
D.
\(-2\)
Đáp án : A
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực bằng \(a\).
Phần thực của số phức \(z = 5 - 2i\) bằng \(5\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), đạo hàm của hàm số \(y = {x^{\frac{5}{2}}}\) là
-
A.
\(y' = \dfrac{2}{7}.{x^{\frac{7}{2}}}\)
-
B.
\(y' = \dfrac{2}{5}.x^{\frac{3}{2}}\)
-
C.
\(y' = \dfrac{5}{2}.{x^{\frac{3}{2}}}\)
-
D.
\(y' = \dfrac{5}{2}.{x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Ta có \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\,\,\left( {x > 0} \right)\) \( \Rightarrow \left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)' = \dfrac{5}{2}{x^{\frac{3}{2}}}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 4\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x + C\)
-
B.
\(\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + 4x + C\)
-
C.
\(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\)
-
D.
\(\int {f\left( x \right)dx} = {x^3} + 4x + C\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
\(\int {\left( {{x^2} + 4} \right)dx} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(O\,xyz\), cho điểm \(A\left( { - 2;3;5} \right)\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OA} \) là
-
A.
\(\left( { - 2;3;5} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - 3;5} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 2; - 3;5} \right)\)
-
D.
\(\left( {2; - 3; - 5} \right)\)
Đáp án : A
Cho \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).
Vì \(A\left( { - 2;3;5} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( { - 2;3;5} \right)\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\( - 3\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : C
+) Dựa vào BBT xác định điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu dấu từ âm sang dương.
+) Giá trị cực tiểu của hàm số là giá trị y của hàm số tại điểm cực tiểu.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), giá trị cực tiểu bằng \( - 3\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {0;1} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \infty ;0} \right)\)
-
C.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;1} \right)\)
Đáp án : A
Dựa vào đồ thị xác định khoảng ứng với đồ thị hàm số đi xuống (giá trị tung độ giảm).
Nhìn trên đồ thị ta thấy khi \(x\) tăng trong \(\left( {0;1} \right)\) thì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi xuống\( \Rightarrow \) giá trị tung độ giảm \( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {5x} \right) = 2\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{8}{5}\)
-
B.
\(x = 9\)
-
C.
\(x = \dfrac{9}{5}\)
-
D.
\(x = 8\)
Đáp án : C
Giải phương trình logarit: \({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\).
\({\log _3}\left( {5x} \right) = 2 \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{5}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nếu \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 4\) thì \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} \) bằng
-
A.
\(36\)
-
B.
\(12\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : B
Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\left( {k \ne 0} \right)\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 3.4 = 12\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Thể tích của khối lập phương cạnh \(5a\) bằng
-
A.
\(5{a^3}\)
-
B.
\({a^3}\)
-
C.
\(125{a^3}\)
-
D.
\(25{a^3}\)
Đáp án : C
Thể tích khối lập phương cạnh \(a\) là \(V = {a^3}\).
\({V_{lap\,\,phuong}} = {\left( {canh} \right)^3} = {\left( {5a} \right)^3} = 125{a^3}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Tập xác định của hàm số \(y = {9^x}\) là
-
A.
\(\mathbb{R}\)
-
B.
\(\left[ {0; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
-
D.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đáp án : A
Hàm số mũ \(y = {a^x}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Hàm số mũ \(y = {9^x}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) được tính theo công thức nào dưới đây?
-
A.
\(S = 16\pi {R^2}\)
-
B.
\(S = 4\pi {R^2}\)
-
C.
\(S = \pi {R^2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{4}{3}\pi {R^2}\)
Đáp án : B
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) là đường thẳng có phương trình:
-
A.
\(x = 1\)
-
B.
\(x = - 1\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : A
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad - bc \ne 0} \right)\) có TCĐ \(x = - \dfrac{d}{c}\).
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có TCĐ \(x = 1\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\), khi đó \({\log _a}\sqrt[4]{a}\) bằng
-
A.
\(4\)
-
B.
\(\dfrac{1}{4}\)
-
C.
\(-\dfrac{1}{4}\)
-
D.
\( - 4\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức: \({\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\).
Ta có: \({\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}}} \right) = \dfrac{1}{4}{\log _a}a = \dfrac{1}{4}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B = 5{a^2}\) và chiều cao \(h = a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{5}{6}{a^3}\)
-
B.
\(\dfrac{5}{2}{a^3}\)
-
C.
\(5{a^3}\)
-
D.
\(\dfrac{5}{3}{a^3}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}} \times h\).
\({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}} \times h = \dfrac{1}{3}.5{a^2}.a = \dfrac{5}{3}{a^3}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(O\,xyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + 2z - 1 = 0\). Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;1;2} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1;2} \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;1;2} \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;1; - 2} \right)\)
Đáp án : B
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + 2z - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1;2} \right)\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho khối trụ có bán kính đáy \(r = 6\) và chiều cao \(h = 3\). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
A.
\(108\pi \)
-
B.
\(36\pi \)
-
C.
\(18\pi \)
-
D.
\(54\pi \)
Đáp án : A
Thể tích khối trụ có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h\)
\(V = \pi {r^2}h = \pi {.6^2}.3 = 108\pi \).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hai số phức \(z = 4 + 2i\) và \(w = 3 - 4i\). Số phức \(z + w\) bằng
-
A.
\(1 + 6i\)
-
B.
\(7 - 2i\)
-
C.
\(7 + 2i\)
-
D.
\( - 1 - 6i\)
Đáp án : B
Sử dụng quy tắc cộng hai số phức.
\(z + w = \left( {4 + 2i} \right) + \left( {3 - 4i} \right) = \left( {4 + 3} \right) + \left( {2 - 4} \right)i = 7 - 2i\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 9\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
-
A.
\( - 6\).
-
B.
\(\dfrac{1}{3}\).
-
C.
\(3\).
-
D.
\(6\).
Đáp án : C
Công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}}\).
Ta có: \({u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{9}{3} = 3\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + 2\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^{x - 2}} + C} \).
-
B.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + 2x + C} \).
-
C.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + C} \).
-
D.
\(\int {f\left( x \right)dx = {e^x} - 2x + C} \).
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\), \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
Ta có \(\int {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} = {e^x} + 2x + C\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm \(M\left( { - 3;4} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
-
A.
\({z_2} = 3 + 4i\).
-
B.
\({z_3} = - 3 + 4i\).
-
C.
\({z_4} = - 3 - 4i\).
-
D.
\({z_1} = 3 - 4i\).
Đáp án : B
Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = a + bi\).
Điểm \(M\left( { - 3;4} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \({z_3} = - 3 + 4i\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Biết hàm số \(y = \dfrac{{x + a}}{{x + 1}}\,\,(a\) là số thực cho trước, \(a \ne 1\)) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
\(y' < 0,\,\,\forall x \ne - 1\).
-
B.
\(y' > 0,\,\,\forall x \ne - 1\).
-
C.
\(y' < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
-
D.
\(y' > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án : B
Dựa vào chiều biến thiên và tập xác định của hàm số.
+ Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định \( \Rightarrow y' > 0\).
+ Do hàm số \(y = \dfrac{{x + a}}{{x + 1}}\) không xác định tại \(x = - 1\) \( \Rightarrow y' > 0\,\,\forall x \ne - 1\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Từ một hộp chứa \(12\) quả bóng gồm \(5\) quả màu đỏ và \(7\) quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) quả. Xác suất để lấy được \(3\) quả màu xanh bằng
-
A.
\(\dfrac{7}{{44}}\).
-
B.
\(\dfrac{2}{7}\).
-
C.
\(\dfrac{1}{{22}}\).
-
D.
\(\dfrac{5}{{12}}\).
Đáp án : A
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả màu xanh”, sử dụng tổ hợp tìm số phần tử luận lợi của biến cố A.
- Tính xác suất của biến cố A.
+ Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3\).
+ Gọi A là biến cố: “Lấy dược 3 quả màu xanh”
\( \Rightarrow \) Số phần tử thuận lợi của A là : \(n\left( A \right) = C_7^3\).
+ Xác suất: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_7^3}}{{C_{12}^3}} = \dfrac{7}{{44}}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\), hàm số \(y = - {x^3} + 3x\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm
-
A.
\(x = 0\).
-
B.
\(x = 3\).
-
C.
\(x = 1\).
-
D.
\(x = 2\).
Đáp án : C
Khảo sát hàm số, lập BBT và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Khảo sát hàm số \(y = - {x^3} + 3x\) trên \(\left[ {0;3} \right]\).
+ \(y' = - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
+ BBT:
\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 4z + 1 = 0\). Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là
-
A.
\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\).
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{4}\).
-
D.
\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).
Đáp án : D
- Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\left( { - 1;3;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 4z + 1 = 0\).
- Vì \(d \bot \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} \).
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\left( { - 1;3;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 4z + 1 = 0\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng là: \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\),\(AB = 2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(C\)đến mặt phẳng \((SAB)\)bằng
-
A.
\(\sqrt 2 a\).
-
B.
\(2a\).
-
C.
\(a\).
-
D.
\(2\sqrt 2 a\).
Đáp án : B
- Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân để tính khoảng cách.
Nhận thấy \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = BC\).
Mà \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) \( \Rightarrow BC = AB = 2a\).
\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2a\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho hai điểm \(A(1;0;0)\)và \(B(4;1;2)\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) có phương trình là:
-
A.
\(3x + y + 2z - 17 = 0\).
-
B.
\(3x + y + 2z - 3 = 0\).
-
C.
\(5x + y + 2z - 5 = 0\).
-
D.
\(5x + y + 2z - 25 = 0\).
Đáp án : B
- Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \).
- Phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có một VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm ta có: \(\left( P \right) \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( P \right):\,\,3\left( {x - 1} \right) + y + 2z = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 3 = 0\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(iz = 5 + 4i\). Số phức liên hợp của \(z\) là:
-
A.
\(\overline z = 4 + 5i\)
-
B.
\(\overline z = 4 - 5i\)
-
C.
\(\overline z = - 4 + 5i\)
-
D.
\(\overline z = - 4 - 5i\)
Đáp án : A
- Thực hiện phép chia số phức tìm số phức \(z\).
- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = a - bi\).
Ta có \(iz = 5 + 4i \Rightarrow z = \dfrac{{5 + 4i}}{i} = 4 - 5i\)
Vậy \(z = 4 - 5i\) có số phức liên hợp là \(\overline z = 4 + 5i\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng
-
A.
\({30^0}\).
-
B.
\({90^0}\).
-
C.
\({45^0}\)
-
D.
\({60^0}\)
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng định lí: \(\angle \left( {a;b} \right) = \angle \left( {a';b} \right)\) với \(a'//a\).
Bước 2: Sử dụng tính chất của tam giác vuông cân để tính góc.
Bước 1:
Do \(AA'//BB' \Rightarrow \angle \left( {AA';BC'} \right) \)\(= d\left( {BB';BC'} \right) = \angle B'BC\).
Bước 2:
Xét \(\Delta B'BC\) vuông tại \(B'\) có: \(BB' = B'C' = a\).
\( \Rightarrow \Delta B'BC\) vuông cân tại \(B' \Rightarrow \angle B'BC = {45^0}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Với mọi \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 6\), khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
\({a^3}b = 64\)
-
B.
\({a^3}b = 36\)
-
C.
\({a^3} + b = 64\)
-
D.
\({a^3} + b = 36\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) \(\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\).
Ta có: \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 6 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^3}b} \right) = 6\) \( \Leftrightarrow {a^3}b = {2^6} \Leftrightarrow {a^3}b = 64\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Nếu \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 5} \) thì \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} \) bằng
-
A.
8
-
B.
9
-
C.
10
-
D.
12
Đáp án : A
Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \), \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \,\,\left( {k \ne 0} \right)\).
Ta có: \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {1dx} \) \( = 2.5 - \left. x \right|_0^2 = 10 - \left( {2 - 0} \right) = 8\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 4\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) . Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên R thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng
-
A.
27.
-
B.
29.
-
C.
12.
-
D.
33.
Đáp án : A
Dạng bài toán hàm số cho bởi nhiều công thức
Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Sử dụng tính liên tục của hàm số.
Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + 3F\left( 0 \right)\end{array}\)
(Hàm số \(F\left( x \right)\) là hàm số thay đổi công thức tại \(x = 1\), nhưng liên tục tại \(x = 1\), nên việc ta khẳng định \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 5} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27\end{array}\)
Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\\3{x^2} + 4\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\).
+ Vì \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\).
+ Theo giả thiết, \(F\left( x \right)\) là hàm số tồn tại đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow F\left( x \right)\) tồn tại đạo hàm tại \(x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
\( \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 5 + {C_1} = 1 + 4 + {C_2}\) \( \Rightarrow {C_1} = - 1 + {C_2} = 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 = - 3\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 3 + 2.15 = 27\end{array}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)?
-
A.
24.
-
B.
Vô số.
-
C.
26.
-
D.
25.
Đáp án : C
Chia các TH và giải bất phương trình.
BPT: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\).
Bài này ta chia 2 trường hợp để giải.
TH1:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}}\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\0 < x + 25 \le {3^3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\ - 25 < x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 25 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Trường hợp này có 26 giá trị nguyên \(x \in \left\{ { - 24; - 23; - 22;...;0;2} \right\}\).
TH2:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {3^{2x}}\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) \ge 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 25 \ge 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Trường hợp này có 1 nghiệm nguyên \(x\) thuộc trường hợp 1.
Vậy có tất cả 26 nghiệm nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) là
-
A.
9
-
B.
3
-
C.
6
-
D.
7
Đáp án : D
- Giải phương trình \(f\left( x \right) = 1\) tìm \(x\) (sử dụng phương pháp tương giao đồ thị hàm số), từ đó suy ra \(f\left( x \right) = k\) nào đó.
- Tiếp tục sử dụng tương giao đồ thị hàm số giải các phương trình \(f\left( x \right) = k\) và tính tổng số nghiệm của phương trình đã cho.
+ Để giải phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) ta đi xét phương trình \(f\left( x \right) = 1\).
Từ đồ thị \(f\left( x \right)\) kẻ tương giao với đường thẳng \(y = 1 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\,voi\,\,a < - 1\\x = 0\\x = b\,\,voi\,\,b \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {a < - 1} \right) \Rightarrow 1\,\,nghiem\\f\left( x \right) = 0 \to ke\,\,tuong\,\,giao \Rightarrow 3\,\,nghiem\\f\left( x \right) = b \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,b \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow 3\,\,nghiem\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) có 7 nghiệm phân biệt.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cắt hình nón \(\left( \aleph \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({60^0}\), ta được thiết diện là tam giác đều cạnh \(4{\rm{a}}\). Diện tích xung quanh của \(\left( \aleph \right)\) bằng
-
A.
\(8\sqrt 7 \pi {a^2}\).
-
B.
\(4\sqrt {13} \pi {a^2}\).
-
C.
\(8\sqrt {13} \pi {a^2}\).
-
D.
\(4\sqrt 7 \pi {a^2}\).
Đáp án : D
- Dựa vào giả thiết thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \({60^0}\) là tam giác đều cạnh \(4a\) tìm độ dài đường sinh của hình nón.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao và bán kính đáy của hình nón.
- Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(R\) là \({S_{xq}} = \pi Rl\).
+ \({S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow \) Cần tìm \(R,\,\,l\).
+ Thiết diện là \(\Delta SMN\) đều cạnh \(4a\) \( \Rightarrow l = SM = SN = 4a\).
+ \(\angle \left( {\left( {SMN} \right);\left( {day} \right)} \right) = \angle SHO = {60^0}\).
Mà \(SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {canh\,\,\Delta SMN} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.4a = 2a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow SO = SH.\sin \angle SHO = 2\sqrt 3 a.\sin {60^0} = 3a\).
\( \Rightarrow OM = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} - {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt 7 \).
\( \Rightarrow R = OM = a\sqrt 7 \).
Vậy \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a\sqrt 7 .4a = 4\sqrt 7 \pi {a^2}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 7\)?
-
A.
2
-
B.
3
-
C.
1
-
D.
4
Đáp án : B
- Dựa vào giả thiết \(\left| {{z_0}} \right| = 7\) xét các TH:
TH1: \({z_0}\) là số thực, thay trực tiếp \({z_0}\) vào phương trình tìm \(m\).
TH2: \({z_0}\) là số phức, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm phức.
Sử dụng: Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \) và định lí Vi-ét, từ đó tìm \(m\).
Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*).
TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} = - 7\end{array} \right.\).
+ Nếu \({z_0} = 7\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {7^2} - 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 14m + 35 = 0\\ \Leftrightarrow m = 7 \pm \sqrt {14} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn \(m = 7 \pm \sqrt {14} \) thì phương trình (*) có nghiệm \({z_0} = 7\) (tmycbt).
+ Nếu \({z_0} = - 7\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 49 + 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 63 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Vô nghiệm.
TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\).
Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \).
Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 7 \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {7^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 49\,\,\left( 1 \right)\).
Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 49 \Leftrightarrow m = \pm 7\).
So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 7\).
Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 7 \pm \sqrt {14} \) và \(m = - 7\)).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Xét các số phức \(z,\,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {\rm{w}} \right| = 2.\) Khi \(\left| {z + i\,\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\) bằng?
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt {221} }}{5}.\)
-
B.
\(\sqrt 5 \)
-
C.
\(3\).
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\).
Đáp án : D
+) Dùng phương pháp hình học \( \to \) Kỹ năng dồn số phức.
* \(P = \left| {z + i\,\overline w - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|\).
Trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 - 8i\\v = - i\overline w \end{array} \right.\), \(u\) có điểm biểu diễn là \(A\), \(v\) có điểm biểu diễn là \(B\).
+) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $u$ và $v$.
+) Tìm \(AB_\min\)
Cách 1: Dùng phương pháp hình học \( \to \) Kỹ năng dồn số phức.
* \(P = \left| {z + i\,\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|\).
Trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 - 8i\\v = - i\overline w \end{array} \right.\), \(u\) có điểm biểu diễn là \(A\), \(v\) có điểm biểu diễn là \(B\).
\( \Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow \) Cần đạt Min.
* \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(A\) biểu diễn số phức \(u\) là đường tròn: \(\left( {{C_1}} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 6; - 8} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.\).
* \(\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\overline w } \right| = \left| { - i} \right|.2\) \( \Rightarrow \left| { - i\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(B\) biểu diễn số phức \(v\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;0} \right)\\{R_2} = 2\end{array} \right.\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = {R_1} = 1\\OB = {R_2} = 2\\OI = 10\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7\).
Min đạt được khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 27}}{5};\dfrac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \dfrac{{27}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i\\\overrightarrow {OB} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 6}}{5};\dfrac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v = - \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = u + 6 + 8i = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\ - i\overline w = v \Rightarrow \overline w = \dfrac{v}{{ - i}} = \dfrac{{ - \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i}}{{ - i}} = \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i \Rightarrow w = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( {\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\).
Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ
Ta có BĐT cho 3 vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \) thì \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| \ge \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| - \left| {\overrightarrow c } \right|\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|\\\overrightarrow a = k\overrightarrow b \\\overrightarrow a = m\overrightarrow c \end{array} \right.\,\,\left( {k;m < 0} \right)\).
* Đặt \(P = \left| {z + i\,\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline w }_{ = \overrightarrow c }} \right|\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 6 - 8i} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a \left( { - 6; - 8} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10\\z \Leftrightarrow \overrightarrow b \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\\i\overline w \Leftrightarrow \overrightarrow c \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline w } \right| = \left| w \right| = 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow P = \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| \ge \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| - \left| {\overrightarrow c } \right| = 10 - 1 - 2 = 7\).
\( \Rightarrow {P_{\min }} = 7\), đạt Min khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|\,\,\left( {dung\,\,do\,\,10 > 1 + 2} \right)\\\overrightarrow a = - 10\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow b = - \dfrac{1}{{10}}\overrightarrow a = \left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}} \right)\\\overrightarrow a = - 5\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow c = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow a = \left( {\dfrac{6}{5};\dfrac{8}{5}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\i\overline w = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i \Leftrightarrow w = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( {\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + 2y + z - 4 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình:
-
A.
\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
-
B.
\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\).
-
C.
\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 4}}.\)
-
D.
\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{1}.\)
Đáp án : C
- Tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \(\left( P \right)\).
- Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in d'\).
- Lấy điểm \(A\) bất kì thuộc \(d\), viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Tìm giao điểm \(H\) của \(\Delta \) và \(\left( P \right)\).
- Viết phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua \(I,\,\,H\).
* Nhận thấy \(I\left( {1;0;2} \right) \in d\) và cũng thuộc \(\left( P \right)\).
\( \Rightarrow d \cap \left( P \right) = I\left( {1;0;2} \right)\).
Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in d'\).
* Lấy \(A\left( {1;2;1} \right) \in d\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;2;1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Gọi \(H = \Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta \Rightarrow H\left( {1 + t;\,\,2 + 2t;\,\,1 + t} \right)\).
Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {1 + t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) + \left( {1 + t} \right) - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 6t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).
* \(d'\) là đường thẳng đi qua \(I\) và \(H\).
Ta có \(\overrightarrow {IH} = \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}; - \dfrac{4}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = 3\overrightarrow {IH} = \left( {2;1; - 4} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d':\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 4}}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c\) là các số thực. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( - 3\) và \(6.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\) và \(y = 1\) bằng
-
A.
\(2\ln \,3.\)
-
B.
\(\ln 3.\)
-
C.
\(\ln 18.\)
-
D.
\(2\ln 2.\)
Đáp án : D
* Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6 \)\(\Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) - 6 = 0\).
(Chúng ta không cần lo điều kiện \(g\left( x \right) + 6 \ne 0\), bởi lẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\) khi tương giao với đường thẳng \(y = 1\) phải tạo nên một miền kín, và khi số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\) nhiều hơn 2 thì ta mới phải chú ý xem xét lấy cận từ đâu đến đâu, và liệu rằng có phải từ \({x_{\min }} \to {x_{\max }}\), chẳng may đồ thị tương giao bị gián đoạn trên đoạn \(\left[ {{x_{\min }};{x_{\max }}} \right]\) mà vẫn tạo miền kín. Trên thực tế, bài toán này phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\) chỉ có 2 nghiệm (vì là phương trình bậc hai), nên người giải toán không cần quan tâm đến việc gián đoạn hay không, vì việc tồn tại nghiệm hình và hàm số là thuộc phạm trù người ra đề).
Mà \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\) \( \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = - f'\left( x \right) - f''\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \) Phương trình hoành độ giao điểm trở thành:
\( - f'\left( x \right) - f''\left( x \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6 = 0\) (1)
Mặt khác: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + f'''\left( x \right)\) và \(f'''\left( x \right) = 6\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6\).
Từ phương trình (1) \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0\).
Theo giả thiết \(g\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( {{x_1}} \right) = - 3\\g\left( {{x_2}} \right) = 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).
Vậy phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} - 1} \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f\left( x \right) - g\left( x \right) - 6}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{ - f'\left( x \right) - f''\left( x \right) - 6}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{ - g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{d\left( {g\left( x \right) + 6} \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}} } \right| = \left| {\ln \left. {\left| {g\left( x \right) + 6} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 6} \right| - \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 6} \right|} \right| = \left| {\ln \left| {6 + 6} \right| - \ln \left| { - 3 + 6} \right|} \right| = \ln 12 - \ln 3 = 2\ln 2\end{array}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \,\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) thỏa mãn \(27{\,^{3{{\rm{x}}^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9{\rm{x}}}}\,?\)
-
A.
27
-
B.
9
-
C.
11
-
D.
12
Đáp án : C
* pt \( \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1\).
\( \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}\), khi \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) \( \Rightarrow y > - 3\) thì mới tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\).
\( \Rightarrow \) Ta chặn được \(y > - 3\) =>\(y \ge - 2\).
* \(pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0\).
Đặt \(f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 8}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 3 \right) = {27^{3y}} - 3y - 1\end{array} \right.\).
Nhận thấy ngay \(f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\), chỉ bằng 0 tại \(y = 0\).
+ Xét \(y = 0 \Rightarrow \) thay vào phương trình ban đầu \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\), loại vì không có nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\).
+ Xét \(y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}\).
1) Ta Table khảo sát \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\).
\( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\)
\( \Rightarrow \) Có 11 giá trị của \(y\) để tồn tại nghiệm \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\).
2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi \(y \ge 10\) thì \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0\) và đồng biến.
Ta đi chứng minh khi \(y \ge 10\) thì phương trình vô nghiệm.
\(g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 9} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 10\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)\).
Ta có \(h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\).
\( \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{14}}{3} > 0\).
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm với \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\).
Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của \(y\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông, \(BD = 2a,\) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B{\rm{D}}} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
-
A.
\(6\sqrt 3 \,{a^3}.\)
-
B.
\(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}{a^3}.\)
-
C.
\(2\sqrt 3 {a^3}.\)
-
D.
\(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}.\)
Đáp án : D
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi 2 đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tính chất hình vuông và tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính chiều cao \(AA'\).
- Tính thể tích khối lăng trụ.
* Xác định \(\angle \left( {\left( {A'BD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)\).
+ \(\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot BD\\AO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'AO} \right) \bot BD\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'AO} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'O\\\left( {A'AO} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AO\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {A'O;AO} \right) = \angle A'OA\).
\( \Rightarrow \angle A'OA = {30^0}\).
* Xét tam giác \(A'OA\) vuông tại \(A\) có \(AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD = a\).
\( \Rightarrow AA' = \tan {30^0}.AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = \dfrac{1}{2}AC.BD.AA'\) \( = \dfrac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {1; - 3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 2;1;2} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng.
-
A.
\(3\sqrt 5 .\)
-
B.
\(\sqrt {61.} \)
-
C.
\(\sqrt {13\,} .\)
-
D.
\(\sqrt {53} .\)
Đáp án : D
* Ta thấy \({z_A}.{z_B} < 0\) \( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow A'\left( {1; - 3;4} \right)\).
Khi đó \(P = \left| {AM - BN} \right| = \left| {A'M - BN} \right|\,\,\,\left( 1 \right)\).
Gọi \({A_1}\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {A'{A_1}} = \overrightarrow {MN} \).
Do \(MN = 2\) \( \Rightarrow {A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A'\) bán kính bằng 2.
Khi đó \(A'{A_1}NM\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'M = {A_1}N\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P = \left| {{A_1}N - BN} \right| \le {A_1}B\).
\( \Rightarrow {P_{\max }} = {A_1}B\) khi \({A_1},\,\,B,\,\,N\) thẳng hàng \(\left( {N = {A_1}B \cap \left( {Oxy} \right)} \right)\) và \({A_1}B\) lớn nhất khi \({A_1}\) ở vị trí \(\left( C \right)\) như hình vẽ.
Khi đó \({P_{\max }} = {A_1}{B_{\max }} = \sqrt {K{B^2} + {A_1}{K^2}} \).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'H = 4\\d\left( {B;\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow BK = 2\) và \({A_1}K = A'{A_1} + A'K = 2 + 5 = 7\).
\( \Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {{2^2} + {7^2}} = \sqrt {53} \).
(Vị trí \(M,\,\,N\) để \({P_{\max }}\) như hình vẽ).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 7} \right)\left( {{x^2} - 9} \right),\,\forall \,x \in \,\mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị?
-
A.
\(6.\)
-
B.
\(7.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(4.\)
Đáp án : A
* BBT của hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^3} + 5x} \right|\):
* Xét \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 5x} \right|} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) \( = \left( {h\left( x \right)} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\).
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) Từ BBT của \(h\left( x \right)\) \( \Rightarrow h'\left( x \right) = 0\) chỉ chứa 1 nghiệm \(x = 0\) là điểm cực trị của \(h\left( x \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = 0\) là nghiệm bội lẻ.
+) \(f'\left( x \right) = \left( {x - 7} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 3\\x = 3\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Phương trình (2) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = 7\\\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = - 3\\\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = 3\end{array} \right.\)
Để hàm số \(g\left( x \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) ít nhất 1 trong 3 đường thẳng \(y = 7,\,\,y = 3,\,\,y = - 3\) phải cắt \(\left| {{x^3} + 5x} \right| + m\) tại 2 điểm phân biệt (2 nghiệm bội lẻ khác 0).
\( \Leftrightarrow m < 7 \Rightarrow \) Có tất cả 6 giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
