Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 4\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) . Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên R thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng
-
A.
27.
-
B.
29.
-
C.
12.
-
D.
33.
Dạng bài toán hàm số cho bởi nhiều công thức
Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Sử dụng tính liên tục của hàm số.
Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + 3F\left( 0 \right)\end{array}\)
(Hàm số \(F\left( x \right)\) là hàm số thay đổi công thức tại \(x = 1\), nhưng liên tục tại \(x = 1\), nên việc ta khẳng định \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 5} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27\end{array}\)
Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\\3{x^2} + 4\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\).
+ Vì \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\).
+ Theo giả thiết, \(F\left( x \right)\) là hàm số tồn tại đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow F\left( x \right)\) tồn tại đạo hàm tại \(x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
\( \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 5 + {C_1} = 1 + 4 + {C_2}\) \( \Rightarrow {C_1} = - 1 + {C_2} = 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 = - 3\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 3 + 2.15 = 27\end{array}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức:
a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Số công thức sai là:
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\left[ {1;4} \right]$ và $f(1) = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f(4) = 10$. Giá trị của $I = \int\limits_1^4 {f'(x)dx} $ là
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],$ có $\int\limits_0^1 {\left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 5.$ Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$
Đặt \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {tdt} \). Khi đó \(F'\left( x \right)\) là hàm số nào dưới đây?
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} \). Giá trị nhỏ nhất của \(F\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = {x^3}\). Chọn mệnh đề đúng:
Giả sử $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên $R$ và các số thực $a < b < c$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Nếu \(f\left( 1 \right) = 12,f'\left( x \right)\) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx} = 17\) thì giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:
Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 10\), khi dó \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 - 4f\left( x \right)} \right]dx} \) có giá trị là:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) thỏa mãn \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 10;\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 18;\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = 7\). Giá trị của \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \) là:
Cho biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = - 2,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 3,\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 7\). Chọn khẳng định sai?
Giả sử \(A,B\) là các hằng số của hàm số \(f\left( x \right) = A\sin \pi x + B{x^2}\). Biết \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\), giá trị của \(B\) là:
Giá trị của \(b\) để \(\int\limits_1^b {\left( {2x - 6} \right)dx} = 0\) là:
Nếu \(\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} = 0\left( {0 < a < 2\pi } \right)\) thì giá trị của \(a\) là:
Nếu \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} \) được viết dưới dạng \(\ln \dfrac{a}{b}\) với \(a,b\) là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của \(a,b\) là \(1\). Chọn khẳng định sai:
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} $
Tập hợp nghiệm của phương trình $\int\limits_0^x {\sin 2tdt = 0} $ (ẩn $x$) là:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị thực của $x$: $\int\limits_0^x {\left( {\dfrac{1}{2}t + 2\left( {a + 1} \right)} \right)dt \ge - 1} $
