Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 7\)?
-
A.
2
-
B.
3
-
C.
1
-
D.
4
- Dựa vào giả thiết \(\left| {{z_0}} \right| = 7\) xét các TH:
TH1: \({z_0}\) là số thực, thay trực tiếp \({z_0}\) vào phương trình tìm \(m\).
TH2: \({z_0}\) là số phức, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm phức.
Sử dụng: Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \) và định lí Vi-ét, từ đó tìm \(m\).
Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*).
TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} = - 7\end{array} \right.\).
+ Nếu \({z_0} = 7\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {7^2} - 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 14m + 35 = 0\\ \Leftrightarrow m = 7 \pm \sqrt {14} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn \(m = 7 \pm \sqrt {14} \) thì phương trình (*) có nghiệm \({z_0} = 7\) (tmycbt).
+ Nếu \({z_0} = - 7\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 49 + 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 63 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Vô nghiệm.
TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\).
Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \).
Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 7 \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {7^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 49\,\,\left( 1 \right)\).
Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 49 \Leftrightarrow m = \pm 7\).
So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 7\).
Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 7 \pm \sqrt {14} \) và \(m = - 7\)).
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Số phức \(w\) là căn bậc hai của số phức \(z\) nếu:
Căn bậc hai của số phức khác \(0\) là:
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là:
Cho phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\). Biệt thức \(\Delta \) của phương trình được tính bởi:
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Phương trình bậc hai trên tập số phức có thể có mấy nghiệm?
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó
Cho phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Biết rằng phương trình ${z^2} + bz + c = 0\left( {b;c \in R} \right)$ có một nghiệm phức là ${z_1} = 1 + 2i$ . Khi đó:
Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2{z^2} - 6z + 5 = 0\). Điểm nào dưới đây biểu diễn số phức \(i{z_0}\)?
Cho số phức $z = a + bi$ với $a,b$ là hai số thực khác $0$. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\bar z\) làm nghiệm với mọi $a,b$ là:
Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
Cho số phức $w$ và hai số thực $a,b$. Biết rằng $2w + i$ và $3w - 5$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0$. Tìm phần thực của số phức $w$.
Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\). Tính \(P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}.\)
Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0\). Tổng \(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}\) bằng:
Số nghiệm thực của phương trình $({z^2} + 1)({z^2} - i) = 0$ là
Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$. Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$.
Tổng \(S = C_{2019}^0 + C_{2019}^3 + C_{2019}^6 + ... + C_{2019}^{2019}\) bằng
