Bài 8 trang 156 SGK Đại số 10


Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\)

LG a

\(\displaystyle A = \sin ({\pi  \over 4} + x) - \cos ({\pi  \over 4} - x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\\
\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
A = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin x\cos \dfrac{\pi }{4} \\- \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{4}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
A = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]\\
= \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right)\\
= 0
\end{array}\)

LG b

 \(\displaystyle B = \cos ({\pi  \over 6} - x) - \sin ({\pi  \over 3} + x)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
B = \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \cos \dfrac{\pi }{6}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{6}\sin x\\
- \left( {\sin \dfrac{\pi }{3}\cos x + \cos \dfrac{\pi }{3}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \dfrac{1}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
B = \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)} \right] - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= 0
\end{array}\)

LG c

\(\displaystyle C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi  \over 3} - x)\cos({\pi  \over 3} + x)\)

Lời giải chi tiết:

Cách khác:

LG d

 \(\displaystyle D = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l}
1 + \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha \\
1 - \cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
D = \dfrac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin 2x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}.\cot x\\
= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\\
= 1
\end{array}\)

Vậy biểu thức \( D\) không phụ thuộc vào \(x.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 48 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!