Bài 7 trang 156 SGK Đại số 10


Chứng minh các đồng nhất thức.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các đồng nhất thức.

LG a

\(\displaystyle {{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = \cot x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{1 - \cos x + \cos 2x}}{{\sin 2x - \sin x}}\\
= \dfrac{{1 - \cos x + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{2\sin x\cos x - \sin x}}\\
= \dfrac{{2{{\cos }^2}x - \cos x}}{{2\sin x\cos x - \sin x}}\\
= \dfrac{{\cos x\left( {2\cos x - 1} \right)}}{{\sin x\left( {2\cos x - 1} \right)}}\\
= \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\\
= \cot x 
\end{array}\)

LG b

\(\displaystyle {{{\mathop{\rm \sin x}\nolimits}  + \sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}} = \tan {x \over 2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha 
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\sin x + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + \cos x + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \left( {2.\dfrac{x}{2}} \right) + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + \cos \left( {2.\dfrac{x}{2}} \right) + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + 2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 1 + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}{{\cos \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \tan \dfrac{x}{2}
\end{array}\)

LG c

\(\displaystyle {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}({\pi  \over 4} - x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha 
\end{array}\)

\(\sin \alpha  = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \, \, {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\)

\(\displaystyle = {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\)

\(\displaystyle = \dfrac{{2\cos 2x\left( {1 - \sin 2x} \right)}}{{2\cos 2x\left( {1 + \sin 2x} \right)}}\)

\(\displaystyle = {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\)
\(\displaystyle = {{1 - \cos ({\pi \over 2} - 2x)} \over {1 + \cos ({\pi \over 2} - 2x)}}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
= \dfrac{{1 - \cos \left[ {2.\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{{1 + \cos \left[ {2.\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}\\
= \dfrac{{1 - \left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{{1 + \left[ {2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right) - 1} \right]}}
\end{array}\)

\(\displaystyle = {{2{{\sin }^2}({\pi \over 4} - x)} \over {2{{\cos }^2}({\pi \over 4} - x)}}\) 
\(\displaystyle = {\tan ^2}({\pi \over 4} - x) \)

Cách khác:

\(\displaystyle VT= {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\)

\(\displaystyle = {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\)

\(\displaystyle = \dfrac{{2\cos 2x\left( {1 - \sin 2x} \right)}}{{2\cos 2x\left( {1 + \sin 2x} \right)}}\)

\(\displaystyle = {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\)

\(\begin{array}{l}
VP = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \dfrac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}}\\
= \dfrac{{\frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}{{\frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}\\
= \dfrac{{2.\frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}{{2.\frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}\\
= \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)}}{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)}}\\
= \frac{{1 - \sin 2x}}{{1 + \sin 2x}}
\end{array}\)

Vậy VT=VP hay ta có đpcm.

LG d

\(\displaystyle \tan x - \tan y = {{\sin (x - y)} \over {\cos x.cosy}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\
\sin a\cos b - \sin b\cos a = \sin \left( {a - b} \right)
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle d) \tan x - \tan y\)

\(\displaystyle = {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} - {{\sin y} \over {\cos y}}\)

\(\displaystyle = {{\sin {\rm{x}}\cos y - \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}\)

\(\displaystyle = {{\sin (x - y)} \over {\cos x\cos y}}.\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 34 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.