Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài 16. Giới hạn của hàm số Toán 11 kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức


Cho hàm số (fleft( x right) = 1 + frac{2}{{x - 1}}) có đồ thị như Hình 5.4.Giả sử (left( {{x_n}} right)) là dãy số sao cho ({x_n} > 1,;{x_n} to ; + infty ). Tính (fleft( {{x_n}} right)) và (mathop {{rm{lim}}}limits_{n to + infty } fleft( {{x_n}} right))

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 3

Video hướng dẫn giải

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 5.4.

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số sao cho \({x_n} > 1,\;{x_n} \to \; + \infty \). Tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn là số L khi \(x \to  + \infty \) nếu dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kỳ, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to  + \infty \), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L,\) kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = L\;\)hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to  + \infty \)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn là số L khi \(x \to  - \infty \) nếu dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kỳ, \({x_n} < b\) và \({x_n} \to  - \infty \), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L,\) kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L\;\)hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( {{x_n}} \right) = 1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 + \frac{2}{{{x_n} - 1}}} \right) = 1\).

LT 3

Video hướng dẫn giải

Tính: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 1}}\).

Phương pháp giải:

\(a\sqrt b  = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{a^2}b} \;\;\;\;\;\;\;\;\;a \ge 0}\\{ - \sqrt {{a^2}b} \;\;\;\;\;a < 0}\end{array}} \right.\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\end{array}\)

VD

Video hướng dẫn giải

Cho tam giác vuông OAB với \(A = \left( {a;0} \right)\) và \(B = \left( {0;1} \right)\) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

a) Tính h theo a,.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pytago để tính h theo a.

Tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(AB = \sqrt {{a^2} + {1^1}} ,\;\;\;AB \times OH = OB \times OA\)

\( \Rightarrow h \times \sqrt {{a^2} + {1^2}}  = a \Rightarrow h = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {1^2}} }}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {1^2}\;} }} = \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = 0\)

Vì vậy khi A dịch chuyển về O thì điểm H dịch chuyển về gần A hơn, và h dần về 0

c) \(\mathop {\lim }\limits_{a \to  + \infty } \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{a \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = 1\)

Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H dịch chuyển về phía điểm B và h dần về 1.


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store