Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Tính các giới hạn sau: a) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } frac{{1 - 2x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}) b) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 2} - x} right))

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\) với \(n\) là số mũ lớn nhất.

b) Nhân với biểu thức liên hợp \((\sqrt A + B).(\sqrt A - B) = A - {B^2}\).

Lời giải chi tiết

Vì \(x \to + \infty \) nên \(x > 0\), suy ra \(\left| x \right| = x\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{0 - 2}}{{\sqrt {1 + 0} }} = - 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {{x^2} + x + 2} \right) - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} + x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left[ {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 1}} = \frac{1}{2}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 8 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 5.13 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (fleft( x right) = frac{2}{{left( {x - 1} right)left( {x - 2} right)}}) Tìm (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to {2^ + }} fleft( x right)) và (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to {2^ - }} fleft( x right))
Bài 5.11 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (gleft( x right) = frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{left| {x - 2} right|}}) Tìm (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to {2^ + }} gleft( x right)) và (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to {2^ - }} gleft( x right))
Bài 5.10 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tính các giới hạn một bên: a) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to {1^ + }} frac{{x - 2}}{{x - 1}}); b) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to {4^ - }} frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}})
Bài 5.9 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thười điểm t = 0). Tính (mathop {{rm{lim}}}limits_{t to {0^ + }} Hleft( t right)) và (mathop {{rm{lim}}}limits_{t to 0} ;Hleft( t right).)
Bài 5.8 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to 0} frac{{{{left( {x + 2} right)}^2} - 4}}{x}); b) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to 0} ) (frac{{sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}})
Bài 5.7 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hai hàm số (fleft( x right) = frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Giải mục 3 trang 115, 116, 117, 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét hàm số (fleft( x right) = frac{1}{{{x^2}}}) có đồ thị như Hình 5.6. Cho ({x_n} = frac{1}{n}), chứng tỏ rằng (fleft( {{x_n}} right) to + infty )
Giải mục 2 trang 114, 115 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (fleft( x right) = 1 + frac{2}{{x - 1}}) có đồ thị như Hình 5.4.Giả sử (left( {{x_n}} right)) là dãy số sao cho ({x_n} > 1,;{x_n} to ; + infty ). Tính (fleft( {{x_n}} right)) và (mathop {{rm{lim}}}limits_{n to + infty } fleft( {{x_n}} right))
Giải mục 1 trang 111, 112, 113 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (fleft( x right) = frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}) a) Tìm tập xác định của hàm số (fleft( x right)) b) Cho dãy số ({x_n} = frac{{2n + 1}}{n}). Rút gọn (fleft( {{x_n}} right)) và tính giới hạn của dãy (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = fleft( {{x_n}} right)) c) Với dãy số (left( {{x_n}} right)) bất kì sao cho ({x_n} ne 2) và ({x_n} to 2), tính (fleft( {{x_n}} right)) và tìm (mathop {{rm{lim}}}limits_{n to + infty } fleft( {{x_n}} right))
Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm