SBT Toán 7 - giải SBT Toán 7 - Cánh diều

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - C..

Giải Bài 78 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.

Đề bài

Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.

a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN là tam giác cân.

b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) Chứng minh tam giác DNA là tam giác vuông.

d) Kẻ EB vuông góc với NA (B ∈ NA). Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh: tam giác DFN có DF = FN nên tam giác DFN cân tại F.

- Chứng minh: NEA có AM là trung tuyến và \({\rm{AF}} = \frac{2}{3}AM\) nên F là trọng tâm của tam giác NEA.

- Chứng minh: EF vuông góc NA; EB vuông góc với NA suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆DME và ∆FMN có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

\(\widehat {DME} = \widehat {FMN}\) (hai góc đối đỉnh),

ME = MN (giả thiết)

Do đó ∆DME = ∆FMN (c.g.c)

Suy ra DE = FN (hai cạnh tương ứng).

Vì tam giác DFE cân tại D nên DE = DF.

Do đó DE = DF = FN.

Tam giác DFN có DF = FN nên tam giác DFN cân tại F.

Vậy tam giác DFN cân tại F.

b) Ta có \(M{\rm{D}} = MF = \frac{1}{2}DF\)và FA = FD nên \(MF = \frac{1}{2}F{\rm{A}}\)

Mà AF + FM = AM nên AF + 1212AF = AM

Suy ra \(\frac{2}{3}AF = AM\) hay \(AF = \frac{2}{3}AM\).

Trong tam giác NEA có AM là trung tuyến và \(AF = \frac{2}{3}AM\) nên F là trọng tâm của tam giác NEA.

Vậy F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) • Ta có: DF = FN, DF = FA nên AF = FN.

Suy ra tam giác FNA cân tại F.

Do đó \(\widehat {F{\rm{A}}N} = \widehat {FNA}\) (hai góc ở đáy)

•Vì tam giác DFN cân tại F nên \(\widehat {FDN} = \widehat {FND}\) (hai góc ở đáy)

• Xét ∆DNA có \(\widehat {A{\rm{D}}N} + \widehat {DNA} + \widehat {NAD} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {FND} + \widehat {DNA} + \widehat {FNA} = 180^\circ \)

Hay \(\left( {\widehat {FND} + \widehat {FNA}} \right) + \widehat {DNA} = \widehat {DNA} + \widehat {DNA} = 180^\circ \)

Suy ra \(2\widehat {DNA} = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {DNA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Vậy tam giác DNA là tam giác vuông tại N.

d) Xét ∆DMN và ∆FME có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

\(\widehat {DMN} = \widehat {FME}\) (hai góc đối đỉnh),

EM = MN (giả thiết)

Do đó ∆DMN = ∆FME (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {MDN} = \widehat {MFE}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên EF // DN

Lại có \(\widehat {DNA} = 90^\circ \) (chứng minh câu c) hay DN ⊥ NA.

Suy ra EF ⊥ NA (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).

Mặt khác EB ⊥ NA (giả thiết)

Suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải Bài 77 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.
Giải Bài 76 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác nhọn ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(A{\rm{E}} = \frac{1}{3}AC\).
Giải Bài 75 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng (widehat {BAC} = 90^circ )
Giải Bài 74 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.
Giải Bài 73 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.
Giải Bài 72 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Chứng minh: Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải Bài 71 trang 89 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MG lấy điểm D sao cho MD = MG.
Giải Bài 70 trang 89 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: a) BM = CN;