SBT Toán 7 - giải SBT Toán 7 - Cánh diều Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - C..

Giải Bài 77 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều


Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.

b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.

c) Nếu \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh: GB = GC, EB = EC, BG = BE suy ra BG = GC = BE = CE.

- Chứng minh: \(\Delta ABE = \Delta AC{\rm{E}}(c - c - c)\)

- Nếu \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)  thì chứng minh: tam giác ABC cân  có \(\widehat {ACB} = {60^o}\) nên tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

DB = DC (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) 

Suy ra AD vuông góc với BC.

Mặt khác D là trung điểm của BC

Do đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra GB = GC (1)

Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó EB = EC (2)

Xét ∆BGD và ∆BED có:

\(\widehat {BDG} = \widehat {BDE}\left( { = 90^\circ } \right)\),

BG là cạnh chung,

DG = DE (giả thiết)

Do đó ∆BGD = ∆BED (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BG = BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.

Vậy BG = GC = CE = BE.

b) Xét ∆ABE và ∆ACE có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BE = CE (chứng minh câu a),

AE là cạnh chung

Do đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).

Vậy ∆ABE = ∆ACE.

c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}GE\)

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}AG\).

Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên \(GE = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\).

Mặt khác \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)

Suy ra GE = GC.

Theo câu a ta lại có GC = EC.

Khi đó GC = GE = EC.

+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đều

Do đó \(\widehat {CGE} = 60^\circ \)

Suy ra:

• \(\widehat {CGD} + \widehat {GCD} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {GCD} = 90^\circ  - \widehat {CGD} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

 • \(\widehat {CGE} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {AGC} = {180^o} - \widehat {CGE} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)

Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA}\)

Lại có \(\widehat {GAC} + \widehat {GCA} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác AGC).

Do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {AGC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)

+) Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {ACG} + \widehat {GCB}\) (hai góc kề nhau)

Hay \(\widehat {ACB} = 30^\circ  + 30^\circ  = 60^\circ \)

Tam giác cân ABC có \(\widehat {ACB} = 60^\circ \) nên là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 7 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store