SBT Toán 7 - giải SBT Toán 7 - Cánh diều

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - C..

Giải Bài 73 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

Đề bài

Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

a) Chứng minh GA = GB = GC.

b) Trên tia AG lấy điểm D sao cho GD = GA. Chứng minh tam giác BGD là tam giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta CBN\) suy ra AM = CN

- Sử dụng tính chất của ba đường trung tuyến để chứng minh: GA = Gb = GC.

- Chứng minh: GD = GB = DB suy ra tam giác BBGD là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Khi đó \(AN = NB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM = MC\)

Xét ∆ABM và ∆CBN có:

AB = BC (giả thiết),

\(\widehat {ABC}\) là góc chung,

BM = BN (chứng minh trên)

Do đó ∆ABM = ∆CBN (c.c.c).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

• Vì G là trọng tâm tam giác ABC

Nên \(AG = \frac{2}{3}AM\) và \(CG = \frac{2}{3}CN\) (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà AM = CN.

Suy ra GA = GC.

Chứng minh tương tự ta có GA = GB.

Do đó GA = GB = GC.

Vậy GA = GB = GC.

b) Ta có GA = GB (theo câu a) và GA = GD (giả thiết).

Nên GD = GB (1)

Ta có G là trọng tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{2}GA\)

Mà GA = GD nên \(GM = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).

Do đó\(GM = M{\rm{D}} = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).

Xét ∆GMC và ∆DMB có:

MB = MC (chứng minh câu a),

\(\widehat {GMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc đối đỉnh),

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆GMC = ∆DMB (c.g.c)

Suy ra GC = DB (hai cạnh tương ứng).

Lại có GC = GB (theo câu a)

Nên GB = DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra GD = GB = DB.

Do đó tam giác BGD là tam giác đều.

Vậy tam giác BGD là tam giác đều

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Giải Bài 74 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.
Giải Bài 75 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng (widehat {BAC} = 90^circ )
Giải Bài 76 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác nhọn ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(A{\rm{E}} = \frac{1}{3}AC\).
Giải Bài 77 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.
Giải Bài 78 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.
Giải Bài 72 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Chứng minh: Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải Bài 71 trang 89 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MG lấy điểm D sao cho MD = MG.
Giải Bài 70 trang 89 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: a) BM = CN;