Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác - SBT Toán 10 KNTT

Giải bài 3.14 trang 39 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến kẻ từ \(A\) và \(B\) vuông góc. Chứng minh rằng:

a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)

b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính \({c^2}\) và tích chất trọng tâm

- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác

-  Sử dụng định lý cosin và diện tích của tam giác

Lời giải chi tiết

a)      \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)

Xét \(\Delta AGB\) vuông tại \(G\) có:

\(\begin{array}{l}{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2}\\{c^2} = {\left( {\frac{2}{3}AM} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}BN} \right)^2}\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}.\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \,\,9{c^2} = {a^2} + {b^2} + 4{c^2}\\ \Leftrightarrow \,\,{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b)     \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)

\(\begin{array}{l}\cot C = \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\\2\left( {\cot A + \cot B} \right) = 2\left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{2.2{c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{{S}}\\ \Rightarrow \,\,\cot C = 2\left( {\cot A + \cot B} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)


Bình chọn:
3.9 trên 9 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store