Bài 30 trang 67 SGK Toán 7 tập 2

Bình chọn:
4.2 trên 70 phiếu

Giải bài 30 trang 67 SGK Toán 7 tập 2. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.

Đề bài

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trên tia \(AG\) lấy điểm \(G’\) sao cho \(G\) là trung điểm của \(AG’\).

a) So sánh các cạnh của tam giác \(BGG’\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác \(BGG’\) với các cạnh của tam giác \(ABC.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) So sánh các cạnh của \(∆BGG’\) với các đường trung tuyến của \(∆ABC.\)

Gọi \(M, N, E\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA, AB.\)

\(G\) là trọng tâm của \(∆ABC\)

  \( \Rightarrow GA =\dfrac{2}{3}AM\)

Mà \(GA = GG’\) (\(G\) là trung điểm của \(AG’\))

  \( \Rightarrow GG' = \dfrac{2}{3} AM\)

- Vì \(G\) là trọng tâm của \(∆ABC\) \( \Rightarrow GB = \dfrac{2}{3} BN\)

- Ta có:  

\(GM =\dfrac{1}{2} AG\) (do \(G\) là trọng tâm) và \(AG = GG'\) (giả thiết)

\( \Rightarrow GM = \dfrac{1}{2} GG'\), do đó \(MG=MG'.\)

Xét \(∆GMC\) và \(∆G’MB\) có: 

+) \(GM = MG'\) (chứng minh trên)

+) \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

+) \( {\widehat {GMC} = \widehat {G'MB}} \) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \( ∆GMC=∆G’MB\) (c.g.c)

 \( \Rightarrow BG' = CG\) (Hai cạnh tương ứng)

Mà \(CG = \dfrac{2}{3}  CE\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)) 

 \( \Rightarrow BG' = \dfrac{2}{3} CE\)

Vậy \(GG' = \dfrac{2}{3}AM,GB = \dfrac{2}{3}BN,G'B = \dfrac{2}{3}CE\)

Hay mỗi cạnh của \(∆BGG’\) bằng  \(\dfrac{2}{3}\) đường trung tuyến của \(∆ABC.\)

b) So sánh các đường trung tuyến của \(∆BGG’\) với các cạnh của \(∆ABC.\)

- Ta có: \(BM\) là đường trung tuyến \(∆BGG’\)

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = \dfrac{1}{2} BC\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BG\) 

Vì \(IG = \dfrac{1}{2} BG\) (do \(I\) là trung điểm \(BG\))

\(GN = \dfrac{1}{2}BG\) (\(G\) là trọng tâm)

\( \Rightarrow  IG = GN\)

Xét  \(∆IGG’\) và \(∆NGA\) có:

+) \(IG = GN\) (chứng minh trên)

+) \(GG' = GA\) (giả thiết)

+) \(\widehat {IGG'} = \widehat {NGA}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \(∆IGG’ = ∆NGA\) (c.g.c) 

\( \Rightarrow  IG' = AN\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow  IG' = \dfrac{{AC}}{2}\)

- Gọi \(K\) là trung điểm \(BG'\) \( \Rightarrow  GK\) là trung tuyến của \(∆BGG’\)

Vì \(GE = \dfrac{1}{2} GC\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\))

\(BG' = GC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  GE =\dfrac{1}{2} BG'\)

Mà \(K\) là trung điểm \(BG’\) \( \Rightarrow KG’ = EG\)

Vì \(∆GMC = ∆G’MB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow\)   \(\widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow  CE // BG’\) \( \Rightarrow\)   \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (đồng vị)

Xét \(∆AGE\) và \(∆GG’K\) có:

+) \(EG = KG’\) (chứng minh trên)

+) \(AG = GG'\) (giả thiết)

+) \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (chứng minh trên)

Vậy \(∆AGE = ∆GG’K\) (c.g.c)

\( \Rightarrow AE = GK\)

Mà \(AE = \dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow  GK =  \dfrac{1}{2} AB\)

Vậy \(BM = \dfrac{1}{2}BC,G'I = \dfrac{1}{2}AC,GK = \dfrac{1}{2}AB\) 

Hay mỗi đường trung tuyến của \(∆BGG’\) bằng một nửa cạnh của tam giác \(ABC\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 7 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi với đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Sử, Sinh cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.

Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay