Giải toán 7, giải bài tập toán lớp 7 sgk đầy đủ đại số và hình học
Bài 4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 30 trang 67 SGK Toán 7 tập 2
Đề bài
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trên tia \(AG\) lấy điểm \(G’\) sao cho \(G\) là trung điểm của \(AG’\).
a) So sánh các cạnh của tam giác \(BGG’\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác \(BGG’\) với các cạnh của tam giác \(ABC.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải chi tiết
a) So sánh các cạnh của \(∆BGG’\) với các đường trung tuyến của \(∆ABC.\)
Gọi \(M, N, E\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA, AB.\)
- Vì \(G\) là trọng tâm của \(∆ABC \Rightarrow GA =\dfrac{2}{3}AM\)
Mà \(GA = GG’\) (\(G\) là trung điểm của \(AG’\))
\( \Rightarrow GG' = \dfrac{2}{3} AM\)
- Vì \(G\) là trọng tâm của \(∆ABC\) \( \Rightarrow GB = \dfrac{2}{3} BN\)
- Ta có:
\(GM =\dfrac{1}{2} AG\) (do \(G\) là trọng tâm) và \(AG = GG'\) (giả thiết)
\( \Rightarrow GM = \dfrac{1}{2} GG'\), do đó \(MG=MG'.\)
Xét \(∆GMC\) và \(∆G’MB\) có:
+) \(GM = MG'\) (chứng minh trên)
+) \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))
+) \( {\widehat {GMC} = \widehat {G'MB}} \) (hai góc đối đỉnh)
Vậy \( ∆GMC=∆G’MB\) (c.g.c)
\( \Rightarrow BG' = CG\) (Hai cạnh tương ứng)
Mà \(CG = \dfrac{2}{3} CE\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\))
\( \Rightarrow BG' = \dfrac{2}{3} CE\)
Vậy \(GG' = \dfrac{2}{3}AM,GB = \dfrac{2}{3}BN,G'B = \dfrac{2}{3}CE\)
Hay mỗi cạnh của \(∆BGG’\) bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường trung tuyến của \(∆ABC.\)
b) So sánh các đường trung tuyến của \(∆BGG’\) với các cạnh của \(∆ABC.\)
- Ta có: \(BM\) là đường trung tuyến \(∆BGG’\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = \dfrac{1}{2} BC\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(BG\)
Vì \(IG = \dfrac{1}{2} BG\) (do \(I\) là trung điểm \(BG\))
\(GN = \dfrac{1}{2}BG\) (\(G\) là trọng tâm)
\( \Rightarrow IG = GN\)
Xét \(∆IGG’\) và \(∆NGA\) có:
+) \(IG = GN\) (chứng minh trên)
+) \(GG' = GA\) (giả thiết)
+) \(\widehat {IGG'} = \widehat {NGA}\) (hai góc đối đỉnh)
Vậy \(∆IGG’ = ∆NGA\) (c.g.c)
\( \Rightarrow IG' = AN\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow IG' = \dfrac{{AC}}{2}\)
- Gọi \(K\) là trung điểm \(BG'\) \( \Rightarrow GK\) là trung tuyến của \(∆BGG’\)
Vì \(GE = \dfrac{1}{2} GC\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\))
\(BG' = GC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow GE =\dfrac{1}{2} BG'\)
Mà \(K\) là trung điểm \(BG’\) \( \Rightarrow KG’ = EG\)
Vì \(∆GMC = ∆G’MB\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow\) \(\widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\) (hai góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
\( \Rightarrow CE // BG’\) \( \Rightarrow\) \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (2 góc đồng vị)
Xét \(∆AGE\) và \(∆GG’K\) có:
+) \(EG = KG’\) (chứng minh trên)
+) \(AG = GG'\) (giả thiết)
+) \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (chứng minh trên)
Vậy \(∆AGE = ∆GG’K\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AE = GK\) ( 2 cạnh tương ứng)
Mà \(AE = \dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow GK = \dfrac{1}{2} AB\)
Vậy \(BM = \dfrac{1}{2}BC,G'I = \dfrac{1}{2}AC,GK = \dfrac{1}{2}AB\)
Hay mỗi đường trung tuyến của \(∆BGG’\) bằng một nửa cạnh của tam giác \(ABC\)
Bình luận
Chia sẻ
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bài 4 - Chương 3 – Hình học 7
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 4 - Chương 3 – Hình học 7
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 4 - Chương 3 – Hình học 7
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 4 - Chương 3 – Hình học 7
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 4 - Chương 3 – Hình học 7
>> Xem thêm
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
- Lý thuyết tập hợp Q các số hữu tỉ
- Lý thuyết định lí Py-ta-go
- Lý thuyết về hai đường thẳng song song
- Lý thuyết số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn
- Lý thuyết tính chất ba đường cao của tam giác
- Lý thuyết tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song
- Lý thuyết tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
- Lý thuyết về cộng, trừ đa thức
- Lý thuyết quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
