Giải SGK, SBT Toán 8 Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ Chân trời sáng tạo

a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích \(S\) của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.

c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đổi biểu thức \({\left( {a - b} \right)^2}\) thành biểu thức nào?

Tính:

a) \({\left( {3x + 1} \right)^2}\)                                 

b) \({\left( {4x + 5y} \right)^2}\)                   

c) \({\left( {5x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)                     

d) \({\left( { - x + 2{y^2}} \right)^2}\)

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \({a^2} + 10ab + 25{b^2}\)                                               

b) \(1 + 9{a^2} - 6a\)

Tính nhanh:

a) \({52^2}\)                                                               

b) \({98^2}\)

a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh \(10\)m được mở rộng cả hai cạnh thêm \(x\) (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh \(5\)m thì được một mảnh vườn hình vuông có cạnh là \(x\) (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

a) Từ Hình 3a, người ta cắt ghép tạo thành Hình 3b. Viết hai biểu thức khác nhau, mỗi biểu thức biểu thị diện tích (phần tô màu) của một trong hai hình bên.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\) thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về diện tích của hai hình bên?

Thực hiện các phép nhân:

a) \(\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right)\)                                   

b) \(\left( {2y + 7z} \right)\left( {2y - 7z} \right)\)                      

c) \(\left( {x + 2{y^2}} \right)\left( {x - 2{y^2}} \right)\)

Tính nhanh:

a) \(82.78\)                                          

b) \(87.93\)                             

c) \({125^2} - {25^2}\)

Giải đáp câu hỏi ở đầu bài (trang 18)

Tính:

a) \({\left( {x + 2y} \right)^3}\)                                             

b) \({\left( {3y - 1} \right)^3}\)

Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng \(x\) (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày \(3\)cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Hoàn thành các phép nhân đa thức sau vào vở, thu gọn kết quả nhận được:

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a + b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)                                   \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} = \left( {a - b} \right){\left( {a - b} \right)^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a - b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)

Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất của phép toán, hoàn thành các biến đổi sau vào vở:

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\\{a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a + b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)                      \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\\{a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a - b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)

Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) \(8{y^3} + 1\)                                 

b) \({y^3} - 8\)

Tính:

a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)                                             

b) \(\left( {2x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {4{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right)\)

Từ một khối lập phương có cạnh bằng \(2x + 1\), ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng \(x + 1\) (xem Hình 5). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Tính:

a) \({\left( {3x + 4} \right)^2}\)                                 

b) \({\left( {5x - y} \right)^2}\)                                  

c) \({\left( {xy - \dfrac{1}{2}y} \right)^2}\)

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \({x^2} + 2x + 1\)              

b) \(9 - 24x + 16{x^2}\)                     

c) \(4{x^2} + \dfrac{1}{4} + 2x\)

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) \(\left( {3x - 5} \right)\left( {3x + 5} \right)\)                               

b) \(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\)                      

c) \(\left( { - x - \dfrac{1}{2}y} \right)\left( { - x + \dfrac{1}{2}y} \right)\)

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng \(2x + 3\) dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng \(3x - 2\) dưới dạng đa thức.

Tính nhanh:

a) \(38.42\)                               b) \({102^2}\)                          c) \({198^2}\)              d) \({75^2} - {25^2}\)

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) \({\left( {2x - 3} \right)^3}\)                                  

b) \({\left( {a + 3b} \right)^3}\)                                 

c) \({\left( {xy - 1} \right)^3}\)

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) \(\left( {a - 5} \right)\left( {{a^2} + 5a + 25} \right)\)                 

b) \(\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\)

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) \(\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\)                    b) \({\left( {xy + 1} \right)^2} - {\left( {xy - 1} \right)^2}\)

a) Cho \(x + y = 12\) và \(xy = 35\). Tính \({\left( {x - y} \right)^2}\)

b) Cho \(x - y = 8\) và \(xy = 20\). Tính \({\left( {x + y} \right)^2}\)

c) Cho \(x + y = 5\) và \(xy = 6\). Tính \({x^3} + {y^3}\)

d) Cho \(x - y = 3\) và \(xy = 40\). Tính \({x^3} - {y^3}\)

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng \(5\)cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu:

a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm \(a\) cm?

b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm \(a\) cm?

Tính:

a) \({\left( {4x - 5} \right)^2}\);

b) \({\left( {3x + \frac{1}{3}y} \right)^2}\);

c) \({\left( { - x + 0,3} \right)^2}\);

d) \({\left( { - x - 10y} \right)^2}\);

e) \({\left( {{a^3} - 3a} \right)^2}\);

g) \({\left( {{a^4} + \frac{1}{2}{a^2}} \right)^2}\).

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) \(\left( {1 - 4x} \right)\left( {1 + 4x} \right)\);

b) \(\left( { - 2x - 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\);

c) \(\left( {{x^3} - 3x} \right)\left( {3x + {x^3}} \right)\);

d) \(\left( {1 + x + {x^2}} \right)\left( {1 + x - {x^2}} \right)\).

Tính nhanh:

a) \(50,{5^2} - 50,{4^2}\);

b) \(202.198\);

c) \(10,{2^2}\);

d) \({101^2} - 202.71 + {71^2}\).

Tính giá trị của biểu thức:

a) \(P = {\left( {x - 10} \right)^2} - x\left( {x + 80} \right)\) tại \(x = 0,87\);

b) \(Q = 4{a^2} + 8ab + 4{b^2}\) tại \(a = 65\) và \(b = 35\);

c) \(R = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) tại \(x = 101\).

Thu gọn các biểu thức sau:

a) \(20{x^2} - \left( {5x - 4} \right)\left( {4 + 5x} \right)\);

b) \({\left( {x - y} \right)^2} - x\left( {x + 2y} \right)\);

c) \({\left( {x + 3} \right)^3} - {\left( {x - 3} \right)^3}\);

d) \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\).

Biết rằng \(x = 2a + b\) và \(y = 2a - b\). Tính giá trị các biểu thức sau theo a và b

a) \(A = \frac{1}{2}xy\);

b) \(B = {x^2} + {y^2}\);

c) \(C = {x^2} - {y^2}\);

Chứng minh rằng:

a) \({337^3} + {163^3}\) chia hết cho 500;

b) \({234^3} - {123^3}\) chia hết cho 3;

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n

a) \((2n + 1)^2 − (2n − 1)^2\) chia hết cho 8;

b) \((8n + 4)^2 − (2n + 1)^2\) chia hết cho 15.

Thay mỗi dấu * bằng một đơn thức thích hợp để nhận được một đồng nhất thức.

a) \({\left( {a + *} \right)^2} = {a^2} + 4ab + 4{b^2}\);

b) \({\left( {x - *} \right)^2} = {x^2} - 8ax + 16{a^2}\);

c) \({\left( {* - 5y} \right)^2} = 0,16{x^2} - * + 25{y^2}\);

d) \({\left( {3x - 0,5y} \right)^2} = 9{x^2} + 0,25{y^2} + *\).

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) \(\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)\);

b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right)\).

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = 4ab\);

b) \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]\);

c) \(2\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2} = 4{a^2}\);

d) \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac\).