Giải SGK, SBT Toán 8 Bài 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác Chân trời sáng tạo

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có điều gì khác với các trường hợp bằng nhau của hai tam giác?

Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(A'B'C'\) có các kích thước như Hình 1. Trên cạnh \(AB\) và \(AC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\) sao cho \(AM = 2cm,AN = 3cm\).

a) So sánh các tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}},\frac{{A'C'}}{{AC}},\frac{{B'C'}}{{BC}}\).

b) Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).

c) Em có nhận xét gì về mối liên hệ giữa các tam giác \(ABC,AMN\) và \(A'B'C'\)?

Tìm trong Hình 4 các cặp tam giác đồng dạng

Cho tam giác \(DEF\) và tam giác \(ABC\) có \(DE = \frac{1}{3}AB,DF = \frac{1}{3}AC,\widehat D = \widehat A\) (Hình 5). Trên tia \(AB\), lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = DE\). Qua \(M\) kẻ \(MN//BC\left( {N \in AC} \right)\).

a) So sánh \(\frac{{AM}}{{AB}}\) và \(\frac{{AN}}{{AC}}\)

b) So sánh \(AN\) với \(DF\).

c) Tam giác \(AMN\) có đồng dạng với tam giác \(ABC\) không?

d) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác \(DEF\) và \(ABC\).

Cho tam giác \(ADE\) và tam giác \(ACF\) có các kích thước như trong Hình 8. Chứng minh rằng \(\Delta ADE\backsim\Delta ACF\).

Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có \(\widehat A = \widehat {A'},\widehat C = \widehat {C'}\) (Hình 9).

Trên cạnh \(AC\), lấy điểm \(D\) sao cho \(DC = A'C'\). Qua \(D\) là kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt cạnh \(BC\) tại \(E\).

a) Tam giác \(DEC\) có đồng dạng với tam giác \(ABC\) không?

b) Nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác \(A'B'C'\)và tam giác \(DEC\).

c) Dự đoán về sự đồng dạng của hai tam giác \(A'B'C'\)và \(ABC\).

Quan sát Hình 12.

a) Chứng minh \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\).

b) Tính độ dài cạnh \(B'C'\).

Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có \(AB = 6m,CD = 15m,OD = 8m\) (Hình 13). Tính độ dài đoạn thẳng \(OB\).

Qua các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, hãy trả lời câu hỏi ở đầu bài (trang 67).

a) Tam giác \(AFE\) và \(MNG\) ở Hình 14 có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Biết tam giác \(AFE\) có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MNG.

Tam giác \(ABC\) có độ dài \(AB = 4cm,AC = 6cm,BC = 9cm.\) Tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) và có chu vi bằng 66,5 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác \(A'B'C'\).

Một công viên có hai đường chạy bộ hình tam giác đồng dạng như Hình 15. Kích thước của con đường bên trong lần lượt là 300 m, 350 m và 550 m. Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 600 m. Nam chạy bốn vòng bên trong. Hưng chạy hai vòng bên ngoài. So sánh quãng đường chạy của hai bạn.

Xét xem cặp tam giác nào trong Hình 16a,16b đồng dạng?

Trong Hình 17, cho biết \(DE = 6cm,EF = 7,8cm,NP = 13cm,NM = 10cm,\widehat E = \widehat N\) và \(\widehat P = 42^\circ \). Tính \(\widehat F\).

a) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 12cm,AC = 15cm,BC = 18cm\). Trên cạnh \(AB\), lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = 10cm\). Trên cạnh \(AC\), lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = 8cm\) (hình 18a). Tính độ dài đoan thẳng \(EF\).

b) Trong Hình 18b, cho biết \(FD = FC,BC = 9dm,DE = 12dm,AC = 15dm,MD = 20dm.\)

Chứng minh rằng \(\Delta ABC\backsim\Delta MED\).

Trong Hình 19, cho biết \(MN//BC,MB//AC\)

a) Chứng minh rằng \(\Delta BNM\backsim\Delta ABC\)

b) Tính \(\widehat C\)

a) Trong Hình 20a, cho biết \(\widehat N = \widehat E,\widehat M = \widehat D,MP = 18m,DF = 24m,\)\(EF = 32m,\)\(NP = a + 3\left( m \right)\). Tìm \(a\).

b) Cho \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AB//CD} \right)\) (Hình 20b).

Chứng minh rằng \(\Delta AMB\backsim\Delta CMD\). Tìm \(x,y\).

a) Trong Hình 21a, cho biết \(\widehat {HOP} = \widehat {HPE},\widehat {HPO} = \widehat {HEP},OH = 6cm\) và \(HE = 4cm\). Tính độ dài đoạn thẳng \(HP\).

b) Trong Hình 21b, cho biết \(\widehat {AME} = \widehat {AFM}\). Chứng minh rằng \(A{M^2} = AE.AF\).

Đường đi và khoảng cách từ nhà anh Thanh (điểm \(M\)) đến công ty (điểm \(N\)) được thể hiện trong Hình 22. Hãy tìm con đường ngắn nhất để đi từ nhà anh Thanh đến công ty.

Tam giác ABC có độ dài \(AB = 9cm,AC = 12cm,BC = 14cm\). Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 61,25cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

a) Tam giác ABC và MBN (Hình 4) có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Biết tam giác ABC có chu vi bằng 15cm. Tính chu vi tam giác MBN.

Cho tam giác MAB và ABN như Hình 5. Biết \(MA = 10cm,MB = 15cm,AB = 8cm,NA = 12cm,NB = 6,4cm\). Chứng minh rằng:

a) $\Delta MAB\backsim \Delta ABN$.

b) Tứ giác AMBN là hình thang.

Anh Minh dự định thiết kế sân vườn nhà mình có hai bồn hoa hình tam giác đồng dạng với nhau (Hình 6). Bồn hoa thứ nhất có chu vi 7,5m và cạnh dài nhất là 3,5m. Bồn hoa thứ hai có chu vi 4,5m. Tính độ dài cạnh dài nhất của bồn hoa thứ hai.

Quan sát Hình 7. Chứng minh rằng \(\widehat {OBA} = \widehat {OAC}\).

Quan sát Hình 8.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$.

b) Cho biết AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, DN là đường trung tuyến của tam giác DEF và \(AM = 5,1cm\). Tính độ dài DN.

Cho tam giác ABC có \(AB = 12,AC = 15\). Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh AC sao cho \(AM = 7,5,AN = 6\). Chứng minh rằng:

a) $\Delta ANM\backsim \Delta ABC$.

b) \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\).

Cho tam giác đều ABC, từ B và C kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại M. Qua M kẻ đường thẳng cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{ME}}{{MF}}\) và \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{ME}}{{MF}}\).

b) $\Delta BCE\backsim \Delta CFB$.

Quan sát Hình 9.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta MNQ$.

b) Tính x, y.

Trong Hình 10, cho biết \(AB = 4,2,IA = 6,IC = 10,\widehat {ABI} = {60^0}\), \(\widehat {CDx} = {120^0}\). Tính độ dài CD.

Quan sát Hình 11. Vẽ vào tờ giấy tam giác MNP với \(NP = 6cm,\widehat N = {45^0},\widehat P = {75^0}\).

a) Chứng minh $\Delta MNP\backsim \Delta ABC$

b) Dùng thước đo chiều dài cạnh MP của tam giác MNP. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và C ở hai bờ sông trong Hình 11.

Trong Hình 12, cho biết tứ giác ABCD là hình thang. Biết DB là tia phân giác của góc ADC và \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\). Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABD\backsim \Delta BDC$.

b) \(B{D^2} = AB.DC\)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\).

a) Chứng minh rằng $\Delta AED\backsim \Delta ABC$.

b) Tia phân giác của góc BAC cắt DE tại M và cắt BC tại N. Chứng minh rằng \(ME.NC = MD.NB\)