Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(A'B'C'\) có các kích thước như Hình 1. Trên cạnh \(AB\) và \(AC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\) sao cho \(AM = 2cm,AN = 3cm\).
a) So sánh các tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}},\frac{{A'C'}}{{AC}},\frac{{B'C'}}{{BC}}\).
b) Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).
c) Em có nhận xét gì về mối liên hệ giữa các tam giác \(ABC,AMN\) và \(A'B'C'\)?
- Ta tính tỉ số các đoạn thẳng.
- Sử dụng định lí Thales đảo.
- Hệ quả định lí Thales
- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
- Nếu \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\) và \(\Delta ABC\backsim\Delta A''B''C''\) thì \(\Delta A'B'C'\backsim\Delta A''B''C''\).
a) Ta có: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\). Do đó, các tỉ số trên bằng nhau.
b) Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
Vì \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN//BC\) (định lí Thales đảo)
Vì \(MN//BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) (Hệ quả của định lí Thales)
Do đó, \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{12}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{{12.1}}{3} = 4\).
Vậy \(MN = 4cm\).
c) Vì \(MN//BC \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta AMN\) (định lí)(1)
Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(A'B'C'\) ta có:
\(AM = A'B' = 2cm;AN = A'C' = 2cm;MN = B'C' = 4cm\)
Do đó, \(\Delta AMN = \Delta A'B'C'\) (c.c.c)
Vì \(\Delta AMN = \Delta A'B'C'\) nên \(\Delta AMN\backsim\Delta A'B'C'\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra, \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Những cặp tam giác nào dưới đây (hình 9.13) là đồng dạng? (các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27cm. Biết rằng AB=4cm, BC=6cm, DE=6cm, FD=12cm. Chứng minh ΔABC ∽ ΔDEF
Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.
Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng \(\widehat A = \widehat {A'} = 60^0\)
- So sánh các tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}}{;^{}}\frac{{A'C'}}{{AC}}\)
- Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B'C' và tính tỉ số \( \frac {B′C′} {BC} \)
- Theo em, tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4cm, 8cm và 10cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?
a) 6cm, 12cm, 15cm
b) 8cm, 16cm, 20cm
c) 6cm, 9cm, 18cm
d) 8cm, 10cm, 15cm
Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA’B’C’ ∽ ΔABC
Chứng minh rằng \(\frac{{A'M'}}{{AM}} = \frac{{B'N'}}{{BN}} = \frac{{C'P'}}{{CP}}\)
Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có điều gì khác với các trường hợp bằng nhau của hai tam giác?
Tìm trong Hình 4 các cặp tam giác đồng dạng
a) Tam giác \(AFE\) và \(MNG\) ở Hình 14 có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
b) Biết tam giác \(AFE\) có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MNG.
Cho hai tam giác vuông \(ABC\) và \(DEF\) có các kích thước như Hình 4.
a) Hãy tính độ dài cạnh \(AC\) và \(DF\).
b) So sánh các tỉ số \(\frac{{AB}}{{DE}};\frac{{AC}}{{DF}}\) và \(\frac{{BC}}{{EF}}\).
c) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác\(ABC\) và \(DEF\).
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh \(\Delta A'B'C' \backsim\Delta ABC\).
Quan sát Hình 65 và chỉ ra những cặp tam giác đồng dạng:
Cho hai tam giác ABC và MNP có \(AB = 2,BC = 5,CA = 6,MN = 4,NP = 10,PM = 12\).
Hãy viết các cặp góc tương ứng bằng nhau của hai tam giác trên và giải thích kết quả.
Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ, trong đó dùng ba đỉnh A', B', C' của tam giác A'B'C' lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng và bác Duy vẽ lần lượt là 1 : 1 000 000 và 1 : 500 000. Chứng minh \(\Delta A'B'C'\; \backsim\Delta ABC\) và tính tỉ số đồng dạng.
Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các tia OA, OB, OC sao cho \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OC}}{{OP}} = \frac{2}{3}\). Chứng minh \(\Delta ABC \backsim\Delta MNP\).
Bạn Hoa vẽ trên giấy một tam giác ABC và đoạn thẳng MN với các kích thước như Hình 66. Bạn Hoa đố bạn Thanh vẽ điểm P thỏa mãn \(\widehat {PMN} = \widehat {ACB},\,\,\widehat {PNM} = \widehat {BAC}\) mà không sử dụng thước đo góc. Em hãy giúp bạn Thanh sử dụng thước thẳng (có chia khoảng milimét) và compa để vẽ điểm P và giải thích kết quả tìm được.
Cho các hình bình hành ABCD và BMNP như ở Hình 67. Chứng minh:
a) \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BC}}\)
b) \( \Delta{MNP} \backsim \Delta{CBA}\)
Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng trong Hình 6.55. Viết kí hiệu về sự đồng dạng của chúng và xác định tỉ số đồng dạng.
Trên bản vẽ thiết kế mặt tiền ngôi nhà ở Hình 5.65b, khoảng cách thực tế giữa các đỉnh \(A',B',C'\) của mái nhà là \(A'B' = A'C' = 10\,cm,B'C' = 16\,cm.\) Trên thực tế, mái nhà được xây dựng có kích thước \(AB = AC = 5\,m\) và \(BC = 8\,m\) (Hình 5.56a). Hỏi mặt tiền của mái nhà có được xây dựng đúng với hình dạng như được thiết kế không?
Tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(AB = 12cm,BC = 15cm\) và \(AC = 18cm.\) Hãy vẽ tam giác \(MNP\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k\) với:
a) \(k = \frac{1}{2};\)
b) \(k = \frac{1}{3}.\)
Chứng minh rằng hai tam giác cân có cùng cạnh bên bằng \(\frac{4}{3}\) cạnh đáy thì đồng dạng với nhau.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 9cm,AC = 12cm\) và \(\Delta DEF\) vuông tại \(D\) có \(DE = 6cm,\,EF = 10cm.\) Chứng minh rằng \(\Delta ABC ∽ \Delta DEF.\)
Trong Hình 6.57, độ dài cạnh mỗi ô vuông lớn là \(5\) đơn vị. Tính độ dài các cạnh của \(\Delta ABC,\Delta DEF,\Delta GHI\) và cho biết các tam giác nào đồng dạng với nhau. Viết kí hiệu của sự đồng dạng đó và xác định tỉ số đồng dạng.
