![](/themes/images/n-arrow-4.png)
![](/themes/images/n-arrow-4.png)
Giải bài 41 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều>
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau: a) \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\); b) \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\); c) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\); d) \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:
a) \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\);
b) \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\);
d) \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = - {x^2} - 2{\rm{x}} + 3\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = \frac{8}{3}\) tại \(x = 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
b) Xét hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} - 16{\rm{x}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x = - 2,x = 2\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = 10\) tại \(x = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = - 6\) tại \(x = \pm 2\).
c) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right).2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, \(y' = 0\) khi \(x = 0\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - 1\) tại \(x = 0\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
d) Xét hàm số \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = - 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) = - 3\) tại \(x = - 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
![](/themes/images/iconComment.png)
![](/themes/images/facebook-share.png)
- Giải bài 42 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 43 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 44 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 45 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 46 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục