Bài 6 trang 160 SGK Đại số 10


Giải bài 6 trang 160 SGK Đại số 10. Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Xét dấu biểu thức: \(f(x) = 2x(x+2) – (x+2)(x+1).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai: “Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì rong khoảng hai nghiệm trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với \(a\)”.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = 2{x^2} + 4x - \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ = {x^2} + x - 2\end{array}\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + x - 2\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = 1,{x_2} =  - 2\) nên:

+) \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 2\end{array} \right.\)

+) \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

+) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 1\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\
= \left( {x + 2} \right)\left( {2x - x - 1} \right) \\= \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right).
\end{array}\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
x - 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \le 0\\
x - 1 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \ge 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \le 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 2
\end{array} \right..
\end{array}\) 

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 > 0\\
x - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 < 0\\
x - 1 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > - 2\\
x < 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < - 2\\
x > 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 2 < x < 1.
\end{array}\)

Vậy \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( {-\infty;\; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

\(f(x) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;\;1} \right).\)

\(f(x)=0\) khi \(x=-2\) hoặc \(x=1\).

LG b

Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau

\(y = 2x(x+2) (C_1)\) và \(y = (x+2)(x+1) (C_2).\)

Tính tọa độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của \((C_1)\) và \((C_2)\)

Lời giải chi tiết:

*) Hàm số: \(y = 2x\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x.\)

+) Tập xác định: R.

\(\begin{array}{l}
- \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{4}{{2.2}} = - 1\\
- \dfrac{\Delta }{{4a}} = - 2
\end{array}\)

Hàm số có \(a = 2 > 0\) nên đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Ta có bảng biến thiên:

 

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: \(\left( { - 2;\;0} \right),\;\left( {0;\;0} \right).\)

+) Trục đối xứng \(x=-1\)

+) Đỉnh: \(\left( { - 1;\; - 2} \right).\)

*) Xét hàm số \(y = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 3x + 2.\)

\(\begin{array}{l}
- \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{3}{{2.1}} = - \dfrac{3}{2}\\
- \dfrac{\Delta }{{4a}} = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right)\)

Bảng biến thiên

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: \(\left( { - 2;\;0} \right),\;\left( {-1;\;0} \right).\)

+) Trục đối xứng \(x =  - \dfrac{3}{2}\)

+) Đỉnh: \(\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{4}} \right)\)

Đồ thị (C1) và (C2)

Hoành độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình

Quan sát đồ thị ta thấy hai giao điểm \( A(-2; 0) , B(1; 6)\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
2x\left( {x + 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2x - x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2 \Rightarrow y = 0\\
x = 1 \Rightarrow y = 6
\end{array} \right.\\
\Rightarrow A\left( { - 2;0} \right),B\left( {1;6} \right)
\end{array}\)

LG c

Tính các hệ số \(a, b, c\) để hàm số \(y = ax^2+ bx + c\) có giá trị lớn nhất bằng \(8\) và đồ thị của nó đi qua \(A\) và \(B\).

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A và B nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2b + c = 0\\a + b + c = 6\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 3b = - 6\\
c = 6 - \left( {a + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = - 2\\
c = 6 - \left( {a + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b - 2\\
c = 6 - \left( {b - 2 + b} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b - 2\\
c = 8 - 2b
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt giá trị lớn nhất bằng 8 thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\dfrac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4ac - {b^2} = 32a\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta có:

+) Với \(b = 0\) ta có: \(a =  - 2,\;\;c = 8 \Rightarrow y =  - 2{x^2} + 8.\)

+) Với \(b = \dfrac{{16}}{9}\) thì \(a =  - \dfrac{2}{9},\;\;c = \dfrac{{40}}{9}\)\( \Rightarrow y =  - \dfrac{2}{9}{x^2} + \dfrac{{16}}{9}x + \dfrac{{40}}{9}.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.5 trên 8 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 năm học mới trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Gửi bài