Bài 3 trang 160 SGK Đại số 10


Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho phương trình:  \({x^2} - 4mx + 9{(m - 1)^2} = 0\)

LG a

Xem xét với giá trị nào của \(m\), phương trình trên có nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 1.9{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow - 5{m^2} + 18m - 9 \ge 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{3}{5} \le m \le 3
\end{array}\)

Phương trình có nghiệm nếu \(m \in \left[ {{3 \over 5}; \, 3} \right]\)

LG b

Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) không phụ thuộc vào \(m\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với  \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) phương trình có các nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn

\(x_1+x_2= 4m\) (1)  và   \(x_1.x_2= 9(m-1)^2\)   (2)

\(\left( 1 \right) \Rightarrow m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{4}\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 9{\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{4} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 9.\dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)}^2}}}{{16}}\\ \Leftrightarrow 16{x_1}{x_2} = 9{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1} + {x_2} - 4} \right)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\end{array}\)

Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \(m.\)

LG c

Xác định \(m\) để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \(4\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: \(x_2 > x_1.\)

Khi đó ta có: \(x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m \)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} - {x_1} = 4\\
{x_2} + {x_1} = 4m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_2} = 4 + 4m\\
{x_2} - {x_1} = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + 2m\\
{x_1} = {x_2} - 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + 2m\\
{x_1} = 2m - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = 9{\left( {m - 1} \right)^2}\\
\Rightarrow \left( {2 + 2m} \right)\left( {2m - 2} \right) = 9{\left( {m - 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4m + 4{m^2} - 4 - 4m = 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 4 = 9{m^2} - 18m + 9\\
\Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = \dfrac{{13}}{5}
\end{array} \right.\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Kết luận: Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = {{13} \over 5}\) thì hiệu của \(2\) nghiệm bằng \(4\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 6 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài