Bài 9 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\) và \(O\) là một điểm thuộc miền trong của mặt bên \(CC'D'D\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) với các mặt của hình hộp.

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\) và \(O\) là một điểm thuộc miền trong của mặt bên \(CC'D'D\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) với các mặt của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta có 2 cách:

+ Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt. Giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung.

+ Cách 2: Tìm 1 điểm chung và 2 đường thẳng song song nằm trên mỗi mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {ABB'A'} \right)\\M \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right)\\\left. \begin{array}{l}N \in A'B' \subset \left( {ABB'A'} \right)\\N \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = MN\end{array}\)

\(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(N\) là trung điểm của \(A'B'\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABB'A'\)

\( \Rightarrow MN\parallel AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'\)

\(\left. \begin{array}{l}O \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right)\\MN\parallel C{\rm{D}}\\MN \subset \left( {OMN} \right)\\C{\rm{D}} \subset \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right)\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow \)Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {C{\rm{DD'C'}}} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(O\), song song với \(MN\) và \(C{\rm{D}}\).

Gọi \(P = d \cap C'D',Q = d \cap CD \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right) = PQ\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\M \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}Q \in C{\rm{D}} \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\Q \in d \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow Q \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MQ\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}N \in A'B' \subset \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\N \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}P \in C'{\rm{D'}} \subset \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\P \in d \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow P \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right) = NP\end{array}\)

Gọi \(E = MQ \cap BC,F = MQ \cap AD,G = NP \cap B'C',H = NP \cap A'D'\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E \in BC \subset \left( {BCC'B'} \right)\\E \in MQ \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right)\\\left. \begin{array}{l}G \in B'C' \subset \left( {BCC'B'} \right)\\G \in NP \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = EG\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in A{\rm{D}} \subset \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\F \in MQ \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in A'D' \subset \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\H \in NP \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right) = FH\end{array}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), tam giác \(SA{\rm{D}}\) đều. \(M\) là điểm trên cạnh \(AB\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và \(\left( \alpha \right)\parallel \left( {SAD} \right)\) cắt \(CD,SC,SB\) lần lượt tại \(N,P,Q\).
Bài 11 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và hai đường thẳng chéo nhau \(a,b\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt \(a\) tại \(M\), cắt \(b\) tại \(N\). Qua điểm \(N\) dựng đường thẳng song song với \(a\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm \(C\).
Bài 12 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hai hình bình hành (ABCD) và (ABEF) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm (M,N) lần lượt thuộc các đường chéo (AC) và (BF) sao cho (MC = 2MA;NF = 2NB). Qua (M,N) kẻ các đường thẳng song song với (AB), cắt các cạnh (AD,AF) lần lượt tại ({M_1},{N_1}). Chứng minh rằng:
Bài 8 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình lăng trụ (ABC.A'B'C'). Gọi (M,N,P,Q) lần lượt là trung điểm của các cạnh (AC,AA',A'C',BC). Ta có:
Bài 7 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Quan hệ song song trong không gian có tính chất nào trong các tính chất sau?
Bài 6 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 10. \(M\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(C{\rm{D}}\), cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là
Bài 5 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm \(S\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Bài 4 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,J,E,F\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB,SC,SD\). Trong các đường thẳng sau, đường nào không song song với \(IJ\)?
Bài 3 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AC\) cắt \(B{\rm{D}}\) tại \(M\), \(AB\) cắt \(C{\rm{D}}\) tại \(N\). Trong các đường thẳng sau đây, đường nào là giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)?
Bài 2 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện \(ABCD\) với \(I\) và \({\rm{?}}\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Bài 1 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AC\) kéo dài (Hình 1). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?