Lý thuyết về mệnh đề

1. Lý thuyết về mệnh đề

a. Tóm tắt kiến thức:

1. Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai của nó. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

2. Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà sự đúng hay sai của nó còn tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi.

Ví dụ: Câu "Số nguyên $n$ chia hết cho $3$" không phải là mệnh đề, vì không thể xác định được nó đúng hay sai.

Nếu ta gán cho $n$ giá trị $n= 4$ thì ta có thể có một mệnh đề sai.

Nếu gán cho $n$ giá trị $n=9$ thì ta có một mệnh đề đúng.

3. Phủ định của một mệnh đề $A$, là một mệnh đề, kí hiệu là $\overline{A}$. Hai mệnh đề $A$ và $\overline{A}$ là hai câu khẳng định trái ngược nhau.

Nếu $A$ đúng thì $\overline{A}$ sai.

Nếu $A$ sai thì $\overline{A}$ đúng.

Ví dụ: Cho mệnh đề A: "5 là số nguyên tố".

Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định: "5 không là số nguyên tố"

Đây là mệnh đề sai.

4. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề kéo theo có dạng: "Nếu $A$ thì $B$", trong đó $A$ và $B$ là hai mệnh đề. Mệnh đề "Nếu $A$ thì $B$" kí hiệu là $A \Rightarrow B$. Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo như sau:

Mệnh đề $A \Rightarrow B$ chỉ sai khi $A$ đúng và $B$ sai.

Ví dụ: Cho hai mệnh đề $A$:"3 chia hết cho 2" và $B$:"4 là số chẵn"

Khi đó $A \Rightarrow B$ phát biểu là: "Nếu 3 chia hết cho 2 thì 4 là số chẵn"

Đây là mệnh đề đúng vì $A$ sai, $B$ đúng. (Mệnh đề $A$ sai nhưng không ảnh hướng đến tính đúng của mệnh đề $B$ nên mệnh đề kéo theo vẫn đúng).

5. Mệnh đề đảo

Mệnh đề "$B\Rightarrow A$" là mệnh đề đảo của mệnh đề $A\Rightarrow B$. Mệnh đề này chỉ sai khi $B$ đúng, $A$ sai.

Ví dụ: Trong ví dụ trên, mệnh đề $B\Rightarrow A$ phát biểu là: "Nếu 4 là số chẵn thì 3 chia hết cho 2"

Mệnh đề này sai vì $B$ đúng, $A$ sai.

6. Mệnh đề tương đương

Nếu $A\Rightarrow B$ là một mệnh đề đúng và mệnh đề $B\Rightarrow A$ cũng là một mệnh đề đúng thì ta nói $A$ tương đương với $B$, kí hiệu: $A \Leftrightarrow B$.

Khi $A \Leftrightarrow B$, ta cũng nói $A$ là điều kiện cần và đủ để có $B$ hoặc $A$ khi và chỉ khi $B$ hay $A$ nếu và chỉ nếu $B$.

Ví dụ: Cho hai mệnh đề $A$:"6 chia hết cho 2" và $B$:"4 là số chẵn"

Khi đó mệnh đề $A$ và $B$ đều đúng nên $A \Leftrightarrow B$ phát biểu là "6 chia hết cho 2 khi và chỉ khi 4 là số chẵn"

7. Kí hiệu $∀$, kí hiệu $∃$

Cho mệnh đề chứa biến: $P(x)$, trong đó $x$ là biến nhận giá trị từ tập hợp $X$.

- Câu khẳng định: Với mọi $x$ thuộc $X$ thì $P(x)$ là mệnh đề đúng và được kí hiệu là:  $∀ x ∈  X : P(x)$.

- Câu khẳng định: Có ít nhất một $x ∈ X$ (hay tồn tại $x ∈ X$) để $P(x)$ là mệnh đề đúng, kí hiệu là $∃ x ∈  X : P(x)$.

b. Sơ đồ tư duy - Mệnh đề 

2. Bài tập về Mệnh đề

Câu 1: Mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 3 = 0$” là phủ định của mệnh đề nào sau đây:

A. $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 3 > 0$

B. $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 3 \ne 0$     

C. $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 3 > 0$        

D. $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 3 \ne 0$

Lời giải: 

Mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 3 = 0$” là phủ định của mệnh đề  “$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - 2x + 3 \ne 0$”.

Đáp án B

Câu 2: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 < 0$”?

A. $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 \ge 0$

B. $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 > 0$           

C. $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 > 0$

D.  $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 \ge 0$

Lời giải:

Phủ định của mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 < 0$ là $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 \ge 0$

Đáp án D

Câu 3: Chọn mệnh đề đúng trong các khẳng định sau:

A. P: “$\sqrt 2$ là số hữu tỉ”

B. Q: “Năm 2022 không phải là năm nhuận”

C. R: “Mọi số nguyên tố đều lẻ”

D. T: “Có hữu hạn số nguyên tố”

Lời giải:

Mệnh đề P sai, vì$\sqrt 2$ là số vô tỉ.

Mệnh đề Q đúng vì 2022 không chia hết cho 4 nên năm 2022 không phải là năm nhuận.

Mệnh đề R sai vì 2 là số nguyên tố nhưng 2 là số chẵn.

Mệnh đề T sai, ta có thể chứng minh được có vô hạn số nguyên tố.

Đáp án B

Câu 4: Trong các câu sau, số câu là mệnh đề là?

a) Trái đất hình elip.

b) Các em hãy cố gắng học tập!

c) Một tam giác cân thì mỗi góc đều bằng ${60^0}$ phải không?

d) Mặt Trăng là vệ tinh tự nhiên duy nhất của Trái Đất

e) Phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ vô nghiệm.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Phát biểu a) là mệnh đề vì ta có thể xét tính đúng sai của nó, cụ thể mệnh đề này sai.

Phát biểu b) và c) không là mệnh đề vì chúng là các câu cảm thán, câu hỏi không xét được tính đúng sai.

Phát biểu d) là mệnh đề, cụ thể mệnh đề này đúng.

Phát biểu e) là mệnh đề, cụ thể mệnh đề này sai: Phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm là $x = 1$ hoặc $x = 2.$

=> Có 3 mệnh đề. 

Đáp án C

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” ?

A. Có ít nhất một động vật di chuyển.

B. Có ít nhất một động vật không di chuyển.

C. Mọi động vật đều không di chuyển.  

D. Mọi động vật đều đứng yên.  

Lời giải:

Phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là: “Tồn tại động vật không di chuyển” hay “Có ít nhất một động vật không di chuyển”

Đáp án B

Câu 6: Trên một tấm bìa cac-tông có ghi 4 mệnh đề sau:

     I. Trên tấm bìa này có đúng một mệnh đề sai.

     II. Trên tấm bìa này có đúng hai mệnh đề sai.

     III. Trên tấm bìa này có đúng ba mệnh đề sai.

     IV. Trên tấm bìa này có đúng bốn mệnh đề sai.

Hỏi trên tấm bìa trên có bao nhiêu mệnh đề sai?

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải:

- Giả sử mệnh đề I đúng. Tức là trên tấm bìa chỉ có 1 mệnh đề I là đúng, 3 mệnh đề còn lại là sai. Tức là mệnh đề II sai. Hay nói cách khác, trên tấm bìa phải có 2 mệnh đề đúng. Điều này mâu thuẫn với điều giả sử. Nên mệnh đề I sai.

- Giả sử mệnh đề II đúng. Tức là trên tấm bài này có 2 mệnh đề đúng và 2 mệnh đề sai. Mà theo trên thì mệnh đề I sai. Nên hai mệnh còn lại là mệnh đề III, mệnh đề IV phải có 1 mệnh đề sai và 1 mệnh đề đúng.

Nếu mệnh đề III đúng thì mệnh đề II sai, nếu mệnh đề IV đúng thì mệnh đề II cũng sai nên mâu thuẫn với giả thiết. Hay mệnh đề II sai.

- Giả sử mệnh đề III đúng. Nghĩa là có 3 mệnh đề sai I, II, IV. Điều này thỏa mãn vì mệnh đề I, II đã sai (theo trên), mệnh đề IV sai vì mệnh đề III đã đúng nên IV phải là mệnh đề sai.

- Giả sử mệnh đề IV đúng thì điều này mâu thuẫn với chính nó vì mệnh đề IV nói có 4 mệnh đề sai nên IV phải là mệnh đề sai.

Vậy có 3 mệnh đề sai và 1 mệnh đề đúng.

Đáp án D

Câu 7: 

Cho các mệnh đề:

(1) “$\sqrt 3$ là số vô tỉ nếu và chỉ nếu $3$ là số hữu tỉ”.

(2) “Tứ giác là hình hình hành nếu và chỉ nếu nó là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau”.

(3) “Tứ giác là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau ”.

(4) “$3 > 4$ khi và chỉ khi $1 > 2$”.

Số mệnh đề sai là:

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Lời giải: 

Mệnh đề $\left( 1 \right)$:

“$\sqrt 3$ là số vô tỉ nếu và chỉ nếu $3$ là số hữu tỉ” đúng vì cả hai mệnh đề “$\sqrt 3$ là số vô tỉ” và “$3$ là số hữu tỉ” đều đúng.

Mệnh đề $(1)$ đúng.

Mệnh đề (2): “Tứ giác là hình hình hành nếu và chỉ nếu nó là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau” sai vì

Mệnh đề “Nếu tứ giác là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình hình hành” là sai, có thể xảy ra trường hợp nó là hình thang cân.

Mệnh đề $(2)$ sai.

Mệnh đề (3): “Tứ giác là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau” đúng vì cả hai mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo có được từ mệnh đề tương đương trên đều đúng.

Mệnh đề $(3)$ đúng.

Mệnh đề (4) “$3 > 4$ khi và chỉ khi $1 > 2$” đúng vì cả hai mệnh đề “$3 > 4$” và “$1 > 2$” đều sai.

Mệnh đề $(4)$ đúng.

Vậy có $3$ mệnh đề đúng và $1$ mệnh đề sai.

Đáp án A

Câu 8: Chọn mệnh đề đúng:

A. Nếu $P \Leftrightarrow Q$ đúng thì $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng đúng hoặc cùng sai.

B. Nếu $P \Leftrightarrow Q$ đúng thì $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng sai

C. Nếu $P \Leftrightarrow Q$ sai thì $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng sai

D. Nếu $P \Leftrightarrow Q$ đúng thì $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng đúng

Lời giải:

Lý thuyết tính đúng sai của mệnh đề tương đương:

Mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ chỉ đúng khi $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng đúng nên nếu $P \Leftrightarrow Q$ đúng thì $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng đúng.

Do đó A,B sai.

Đáp án C sai vì nếu $P \Leftrightarrow Q$ sai thì có thể một trong hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ sai chứ không chắc cả hai mệnh đề đều sai.

Đáp án D

Câu 9: Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ chỉ đúng khi nào?

A. Cả $P$ và $Q$ đều đúng.

B. Cả $P$ và $Q$ đều sai

C. Cả $P$ và $Q$ đều cùng đúng hoặc cùng sai.

D. Cả $P$ và $Q$ đều vừa đúng vừa sai.

Lời giải:

Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ chỉ đúng khi cả $P$ và $Q$ đều cùng đúng hoặc cùng sai.

Đáp án C

Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

A. Nếu số nguyên $n$ có tổng các chữ số bằng $9$ thì số tự nhiên $n$ chia hết cho $3.$

B. Nếu $x > y$ thì ${x^2} > {y^2}.$

C. Nếu $x = y$ thì $t.x = t.y.$

D. Nếu $x > y$ thì ${x^3} > {y^3}.$

Lời giải: 

Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho $3$ thì số nguyên $n$ có tổng các chữ số bằng $9$”.

Mệnh đề này sai, chẳng hạn số 12 chia hết cho 3 nhưng có tổng các chữ số bằng 3 chứ không bằng 9.

Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu ${x^2} > {y^2}$ thì $x > y$” sai vì ${x^2} > {y^2} \Leftrightarrow \left| x \right| > \left| y \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > y\\x <  - y\end{array} \right.$.

Chẳng hạn $(-3)^2>2^2$ nhưng $-3 < 2$

Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu $t.x = t.y$ thì $x = y$” sai với $t = 0 \Rightarrow x,\,y \in \mathbb{R}.$

Đáp án D