Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống

Bài 5. Dãy số Toán 11 kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 45, 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

a) Xét dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = 3n - 1). Tính ({u_{n + 1}}) và so sánh với ({u_n}) b) Xét dãy số (left( {{v_n}} right)) với ({v_n} = frac{1}{{{n^2}}}). Tính ({v_{n + 1}}) Và so sánh với ({v_n})

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ4

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 45 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n - 1\). Tính \({u_{n + 1}}\) và so sánh với \({u_n}\).

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính \({v_{n + 1}}\) và so sánh với \({v_n}\).

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\), với mọi \(n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\), với mọi \(n \in {N^*}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) - 1 = 3n + 2\).

Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n}\).

b) Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\).

Suy ra: \({u_{n + 1}} < {u_n}\).

LT3

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\), với mọi \(n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\), với mọi \(n \in {N^*}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}\).

Mà \(\left( {n + 2} \right) > \left( {n + 1} \right)\) suy ra \(\frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}}\).

Tức là \({u_{n + 1}} < {u_n},\;\forall n \in {N^*}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

HĐ5

Video hướng dẫn giải

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n},\;\forall n \in {N^*}\).

a) So sánh \({u_n}\) và 1.

b) So sánh \({u_n}\) và 2.

Phương pháp giải:

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\;n \in {N^*}\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \ge m,\;n \in {N^*}\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\;n \in {N^*}\).

Lời giải chi tiết:

a) \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}= 1+ \frac{{1}}{n} > 1\).

b) \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}= 1+ \frac{{1}}{n} < 2\).

LT4

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 22 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = 2n - 1\).

Phương pháp giải:

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\;n \in {N^*}\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \ge m,\;n \in {N^*}\).

Lời giải chi tiết:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(2n - 1 < M,\;\forall n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới, vì \(\left( {{u_n}} \right) = 2n - 1 \ge 1,n \in {N^*}\).

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 46 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi \({s_n}\) (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

\( s_1 = 200, s_n = s_{n-1} +25\) với \(n \ge 2\)

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh \(\left( {{s_n}} \right)\) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Phương pháp giải:

a) Tìm số hạng tổng quát.

b, Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\), với mọi \(n \in {N^*}\).

Lời giải chi tiết:

a) Số hạng tổng quát: \({s_n} = 200 + 25(n - 1)\).

Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là:

\({s_5} = 200 + 25(5 - 1) = 300\) (triệu đồng)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{s_{n + 1}} = 200 + 25(n + 1 - 1) = 200 + 25n\\{s_{n + 1}} - {s_n} = 200 + 25n - \left[ {200 + 25(n - 1)} \right] = 25 > 0\\ \Rightarrow {s_{n + 1}} > {s_n}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {{s_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Vậy \(\left( {{s_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2.1 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (left( {{u_n}} right)) có số hạng tổng quát cho bởi: a) ({u_n} = 3n - 2) b) ({u_n} = {3.2^n}) c) ({u_n} = {left( {1 + frac{1}{n}} right)^n})
Bài 2.2 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Dãy số (left( {{u_n}} right))cho bởi hệ thức truy hồi: ({u_1} = 1,;;;{u_n} = n.{u_{n - 1}}) với (n ge 2) a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát ({u_n}).
Bài 2.3 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét tính tăng, giảm của dãy số (left( {{u_n}} right)), biết: a) ({u_n} = 2n - 1); b) ({u_n} = - 3n + 2); c) ({u_n} = {left( { - 1} right)^{n - 1}}{n^2})
Bài 2.4 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn? a) ({u_n} = n - 1); b) ({u_n} = frac{{n + 1}}{{n + 2}}); c) ({u_n} = sin;n;); d) ({u_n} = {left( { - 1} right)^{n - 1}}{n^2})
Bài 2.5 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó: a) Đều chia hết cho 3; b) Khi chia cho 4 dư 1
Bài 2.6 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức: ({A_n} = 100{left( {1 + frac{{0,06}}{{12}}} right)^n}) a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm
Bài 2.7 trang 47 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng. Gọi ({A_n};left( {n in N} right)) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng. a) Tìm lần lượt ({A_0},;{A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5},{A_6}) để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng. b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (left( {{A_n}} right))
Giải mục 2 trang 43, 44 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét dãy số (({u_n})) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: (5;10;15;20;25;30; ldots ) a) Viết công thức số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi
Giải mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.
Giải câu hỏi mở đầu trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân \( P_n \) (nghìn người) của thành phố đó sau \( n \) năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức \( P_n = 500(1 + 0,02)^n \). Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?
Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1. Định nghĩa dãy số