Giải mục 2 trang 9, 10, 11, 12 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 10 SGK Toán 11 Cánh diều

a) Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1.

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình.

Lời giải chi tiết:

a)

b) Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Chiều âm là chiều kim đồng hồ.

LT-VD6

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 6 trang 10 SGK Toán 11 Cánh diều

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,ON} \right) =  - \frac{\pi }{3}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ.

Lời giải chi tiết:

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 10 SGK Toán 11 Cánh diều

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = 60^\circ \).

b) So sánh hoành độ của điểm M với \(\cos 60^\circ \); tung độ của điểm M với \(\sin 60^\circ \).

Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định.

Lời giải chi tiết:

a)

b) \(\cos 60^\circ \) bằng hoành độ của điểm M, \(\sin 60^\circ \) bằng tung độ của điểm M.

LT-VD7

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 7 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác \(\beta  =  - \frac{\pi }{4}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để tính.

Lời giải chi tiết:

\(\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{2};\,\,\cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 2\)

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha  =  - 30^\circ \).

Phương pháp giải:

Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \left( { - 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\\\sin \left( { - 30^\circ } \right) =  - \frac{1}{2} < 0\\\tan \left( { - 30^\circ } \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 0\\\cot \left( { - 30^\circ } \right) =  - \sqrt 3  < 0\end{array}\)

LT-VD8

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 8 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha  = \frac{{5\pi }}{6}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng xét dấu sau:

Lời giải chi tiết:

Do \(\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0\\\tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\end{array}\)

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho góc lượng giác \(\alpha \). So sánh:

a) \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \) và 1;

b) \(\tan \alpha .\cot \alpha \) và 1 với \(\cos \alpha \ne 0,\,\sin \alpha  \ne 0\);

c) \(1 + {\tan ^2}\alpha \) và \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha  \ne 0\);

d) \(1 + {\cot ^2}\alpha \) và \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha  \ne 0\).

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\).

b) \(\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\).

c) \(\frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha  + 1\).

d) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \).

LT-VD9

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 9 trang 12 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho góc lượng giác \(\alpha \) sao cho \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha  =  - \frac{4}{5}\). Tìm \(\cos \alpha \).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\).

Lời giải chi tiết:

Vì \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\) nên \({\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).

Do \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha  < 0\). Suy ra \(\cos \alpha  =  - \frac{3}{5}\).

HĐ10

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 12 SGK Toán 11 Cánh diều

Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha  = \frac{\pi }{4}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào các kiến thức đã học để tính.

Lời giải chi tiết:

\(\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( {\frac{\pi }{4} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( {\frac{\pi }{4} } \right) = 1;\,\,\cot \left( {\frac{\pi }{4} } \right) = 1\).

LT-VD10

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 10 trang 12 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính giá trị của biểu thức:

\(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\).

Phương pháp giải:

Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\\={\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = \frac{7}{2}.\end{array}\)

HĐ11

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha ,\,\,\left( {OA,OM'} \right) =  - \alpha \) (Hình 13)

a)     Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b)     Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha \) và \(- \alpha \)

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ ( hình 13)

Lời giải chi tiết:

a)  Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

     Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b)  Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha\) và \(- \alpha \)

LT-VD11

a) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8}\)

b) \(\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trong bảng:

Lời giải chi tiết:

a) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}} \right) = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1\)

b)

\(\begin{array}{l}\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\tan {89^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\tan {88^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\cot {1^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\cot {2^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = 1\end{array}\)

LT-VD12

Dùng máy tính cầm tay để tính ;

a) \(\tan ( - {75^ \circ });\)b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải chi tiết:

a) \(\tan ( - {75^ \circ }) =  - 2 - \sqrt 3 \)

b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) \approx  - 1,376\)