Giải bài tập 7 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau. b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đọc kĩ dữ liệu để vẽ hình.

- Chứng minh \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN (g.c.g)

- Dựa vào trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180^o để suy ra tứ giác ABMO và ANDO nội tiếp.

- Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN. Suy ra

OA = OC. Sau đó chứng minh B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC. Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta \)ABM và \(\Delta \)ADN ta có:

AB = AD

\(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}( = {90^o})\)

\(\widehat {BAM} = \widehat {NAD}\)(cùng phụ với \(\widehat {DAM}\))

Do đó \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN (g.c.g)

b) Ta có AM = AN (do \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN)

Suy ra \(\Delta \) AMN cân tại A

Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM)

Nên AO cũng là đường cao suy ra AO \( \bot \) NM tại O.

Xét tứ giác ABMO có \(\widehat {ABM} + \widehat {AOM} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác ABMO nội tiếp.

Xét tứ giác ADNO có \(\widehat {ADN} = {90^o}\left( {AD \bot CN} \right),\widehat {AON} = {90^o}(AO \bot MN)\)

Suy ra D, O thuộc đường tròn đường kính AN.

Vậy tứ giác ADNO nội tiếp.

c) Tứ giác AMCN có: \(\widehat {MAN} + \widehat {MCN} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên nội tiếp.

Mà \(\widehat {MAN} = {90^o}\)

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN.

Suy ra OA = OC

Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông).

Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 6 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp; b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.
Giải bài tập 5 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.
Giải bài tập 4 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.
Giải bài tập 3 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau: a) AB = 6 cm, BC = 8 cm; b) AC = 9cm.
Giải bài tập 2 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình.
Giải bài tập 1 trang 73 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.
Giải mục 3 trang 72 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.
Giải mục 2 trang 71 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (Hình 4). a) Chỉ ra các cung chắn bởi mỗi góc nội tiếp \(\widehat {DAB}\) và \(\widehat {DCB}\) b) Tính tổng số đo của các cung vừa tìm được. c) Nêu kết luận về tổng số đo của hai góc \(\widehat {DAB}\) và \(\widehat {DCB}\). d) Có nhận xét gì về tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD?
Giải mục 1 trang 70, 71 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Các tứ giác trong Hình 1 có đặc điểm gì giống nhau?
Lý thuyết Tứ giác nội tiếp Toán 9 Chân trời sáng tạo
1. Đường tròn ngoại tiếp của một tứ giác Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tứ giác - Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). - Đường tròn đi qua bốn đỉnh của tứ giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.