SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài 27 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R. a) Chứng minh thể tích khối chóp tương ứng là (V = frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3left( {x - 2R} right)}}), trong đó x là chiều cao hình chóp. b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

Đề bài

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

a) Chứng minh thể tích khối chóp tương ứng là \(V = \frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao hình chóp.

b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy

cắt hình chóp cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo hình tròn tâm I bán kính R nội tiếp tam giác SMN. Có thể tính thể tích khối chóp theo x và \(\alpha  = \widehat {SNH}\). Sauđó sử dụng đẳng thức \(x = R + IS\) để tìm hệ thức giữa R, x, \(\alpha \).

Ý b: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(V = \frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(HN = x\cot \alpha ;MN = 2x\cot \alpha \).

Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}M{N^2} \cdot SH = \frac{4}{3}{x^3}{\cot ^2}\alpha \). Ta tính \({\cot ^2}\alpha \) theo R và x.

Từ đẳng thức \(SH = IH + IS\) ta có \(x = R + \frac{R}{{\cos \alpha }}\). Do đó \(\cos \alpha  = \frac{R}{{x - R}}\) suy ra

\({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{{{R^2}}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2Rx}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}};{\cot ^2}\alpha  = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{R^2}}}{{x\left( {x - 2R} \right)}}\)

Từ đó ta được \(V = \frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\).

b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}},x > 2R\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\min V = \frac{{32}}{3}{R^3}\) khi \(x = 4R\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài 28 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau a) (fleft( x right) = 3{x^2} - 2x + frac{2}{x}); b) (gleft( x right) = sin x - frac{3}{{{{cos }^2}x}} + 1); c) (hleft( x right) = {left( {3x - 1} right)^2} - 2sqrt x + sin x - 1).

  • Giải bài 29 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{sin }^2}frac{x}{2}dx} ); b) (intlimits_0^1 {left( {3x - 4{x^3}} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {4{x^3} - 3x} right)dx} ); c) (intlimits_0^6 {left( {left| {2x - 2} right| + 4{x^2}} right)dx} ).

  • Giải bài 30 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (fleft( x right)) có (f'left( x right) = 10x - {e^x}) với mọi (x in mathbb{R}). Biết (fleft( 0 right) = 1). Tính giá trị (fleft( 2 right)).

  • Giải bài 31 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì tăng tốc, chuyển động thành chuyển động nhanh dần đều với gia tốc (a = 3t - 8left( {m/{s^2}} right)), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc. a) Biết vận tốc của ô tô là (vleft( t right) = frac{a}{2}{t^2} + bt + c) với (a,b,c) là các số nguyên. Tính (a + b + c). b) Quãng đường ô tô đi được sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

  • Giải bài 32 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (y = sqrt x - 2), trục hoành và các đường thẳng (x = 4,x = 9).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store