SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài 24 trang 51 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số (y = frac{{2x - 1}}{{x - 1}}). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị. b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng (d:y = - x + m) cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt. c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm cận của (H) tại hai điểm A và B và diện tích tam giác IAB không đổi.

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng \(d:y =  - x + m\) cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm cận của (H) tại hai điểm A và B và diện tích tam giác IAB không đổi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm, tính các giới hạn tại vô cực, tìm tiệm cận (nếu có), lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị. Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Tìm m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

Ý c: Điểm M bất kỳ thuộc đồ thị nên có tọa độ phụ thuộc một tham số. Viết phương trình tiếp tuyến tại M và tìm giao điểm A, B. Từ đó chứng minh diện tích tam giác không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Sự biến thiên:

Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,{\rm{ }}\forall x \ne 1\) suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng của tập xác định.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2\) suy ra đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \) suy ra đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận điểm \(I\left( {1;2} \right)\) làm tâm đối xứng.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (H):

\( - x + m = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m - 1 = 0{\rm{ }}\left( {x \ne 1} \right)\).

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt khi phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\1 + 1 - m + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\)

\( \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

c) Giả sử \(M\left( {t;\frac{{2t - 1}}{{t - 1}}} \right)\) thuộc (H) với \(t \ne 1\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại điểm M là

\(\Delta :y = y'\left( t \right)\left( {x - t} \right) + y\left( t \right) \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{2t - 1}}{{t - 1}}\).

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại \(A\left( {1;\frac{{2t}}{{t - 1}}} \right)\), cắt tiệm cận ngang tại \(B\left( {2t - 1;2} \right)\).

Ta có \(IA = \frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}}\), \(IB = 2\left| {t - 1} \right|\). Suy ra diện tích tam giác IAB là \(\frac{1}{2}IA \cdot IB = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}} \cdot 2\left| {t - 1} \right| = 2\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài 25 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (y = - frac{{{x^2} + x + 1}}{x}). b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d:y = - 2x + m) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

  • Giải bài 26 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) Lập bảng biến thiên của hàm số (y = frac{{{x^2}}}{{x + 1}}). b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (M = frac{{{{cos }^2}alpha }}{{cos alpha + 1}}).

  • Giải bài 27 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R. a) Chứng minh thể tích khối chóp tương ứng là (V = frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3left( {x - 2R} right)}}), trong đó x là chiều cao hình chóp. b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

  • Giải bài 28 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau a) (fleft( x right) = 3{x^2} - 2x + frac{2}{x}); b) (gleft( x right) = sin x - frac{3}{{{{cos }^2}x}} + 1); c) (hleft( x right) = {left( {3x - 1} right)^2} - 2sqrt x + sin x - 1).

  • Giải bài 29 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{sin }^2}frac{x}{2}dx} ); b) (intlimits_0^1 {left( {3x - 4{x^3}} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {4{x^3} - 3x} right)dx} ); c) (intlimits_0^6 {left( {left| {2x - 2} right| + 4{x^2}} right)dx} ).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store