SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài 25 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (y = - frac{{{x^2} + x + 1}}{x}). b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d:y = - 2x + m) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y =  - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(d:y =  - 2x + m\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm, tính các giới hạn tại vô cực, tìm tiệm cận (nếu có), lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Tìm m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt. Biểu diễn cạnh AB theo tham số m bằng các biến đổi.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Sự biến thiên:

Ta có \(y =  - x - 1 - \frac{1}{x} \Rightarrow y' =  - 1 + \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( {1; - 3} \right)\) và điểm cực tiểu là \(\left( { - 1;1} \right)\).

Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \);  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ - 1}}{x} = 0\) suy ra đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  - \infty \) suy ra trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận điểm \(I\left( {0; - 1} \right)\) làm tâm đối xứng.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

\( - 2x + m = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {1 + m} \right)x - 1 = 0{\rm{ }}\left( {x \ne 0} \right).\left( 1 \right)\).

Đường thẳng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt do phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu vì \(ac =  - 1 < 0\). Khi đó với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của (1) thì ta có thể giả sử \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} + m} \right)\) và \(B\left( {{x_2}; - 2{x_2} + m} \right)\).

Ta có \(A{B^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left[ {\left( { - 2{x_1} + m} \right) - \left( { - 2{x_2} + m} \right)} \right]^2} = 5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\)

\( = 5\left[ {{{\left( {1 + m} \right)}^2} + 4} \right] \ge 20\forall m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(m =  - 1\).

Vậy AB ngắn nhất khi \(m =  - 1\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài 26 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) Lập bảng biến thiên của hàm số (y = frac{{{x^2}}}{{x + 1}}). b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (M = frac{{{{cos }^2}alpha }}{{cos alpha + 1}}).

  • Giải bài 27 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R. a) Chứng minh thể tích khối chóp tương ứng là (V = frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3left( {x - 2R} right)}}), trong đó x là chiều cao hình chóp. b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

  • Giải bài 28 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau a) (fleft( x right) = 3{x^2} - 2x + frac{2}{x}); b) (gleft( x right) = sin x - frac{3}{{{{cos }^2}x}} + 1); c) (hleft( x right) = {left( {3x - 1} right)^2} - 2sqrt x + sin x - 1).

  • Giải bài 29 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{sin }^2}frac{x}{2}dx} ); b) (intlimits_0^1 {left( {3x - 4{x^3}} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {4{x^3} - 3x} right)dx} ); c) (intlimits_0^6 {left( {left| {2x - 2} right| + 4{x^2}} right)dx} ).

  • Giải bài 30 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (fleft( x right)) có (f'left( x right) = 10x - {e^x}) với mọi (x in mathbb{R}). Biết (fleft( 0 right) = 1). Tính giá trị (fleft( 2 right)).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store