SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài 25 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (y = - frac{{{x^2} + x + 1}}{x}). b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d:y = - 2x + m) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y =  - \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(d:y =  - 2x + m\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm, tính các giới hạn tại vô cực, tìm tiệm cận (nếu có), lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Tìm m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt. Biểu diễn cạnh AB theo tham số m bằng các biến đổi.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Sự biến thiên:

Ta có \(y =  - x - 1 - \frac{1}{x} \Rightarrow y' =  - 1 + \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( {1; - 3} \right)\) và điểm cực tiểu là \(\left( { - 1;1} \right)\).

Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \);  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ - 1}}{x} = 0\) suy ra đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  - \infty \) suy ra trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận điểm \(I\left( {0; - 1} \right)\) làm tâm đối xứng.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

\( - 2x + m = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {1 + m} \right)x - 1 = 0{\rm{ }}\left( {x \ne 0} \right).\left( 1 \right)\).

Đường thẳng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt do phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu vì \(ac =  - 1 < 0\). Khi đó với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của (1) thì ta có thể giả sử \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} + m} \right)\) và \(B\left( {{x_2}; - 2{x_2} + m} \right)\).

Ta có \(A{B^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left[ {\left( { - 2{x_1} + m} \right) - \left( { - 2{x_2} + m} \right)} \right]^2} = 5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\)

\( = 5\left[ {{{\left( {1 + m} \right)}^2} + 4} \right] \ge 20\forall m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(m =  - 1\).

Vậy AB ngắn nhất khi \(m =  - 1\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài 26 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) Lập bảng biến thiên của hàm số (y = frac{{{x^2}}}{{x + 1}}). b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (M = frac{{{{cos }^2}alpha }}{{cos alpha + 1}}).

  • Giải bài 27 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R. a) Chứng minh thể tích khối chóp tương ứng là (V = frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3left( {x - 2R} right)}}), trong đó x là chiều cao hình chóp. b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

  • Giải bài 28 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau a) (fleft( x right) = 3{x^2} - 2x + frac{2}{x}); b) (gleft( x right) = sin x - frac{3}{{{{cos }^2}x}} + 1); c) (hleft( x right) = {left( {3x - 1} right)^2} - 2sqrt x + sin x - 1).

  • Giải bài 29 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    a) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{sin }^2}frac{x}{2}dx} ); b) (intlimits_0^1 {left( {3x - 4{x^3}} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {4{x^3} - 3x} right)dx} ); c) (intlimits_0^6 {left( {left| {2x - 2} right| + 4{x^2}} right)dx} ).

  • Giải bài 30 trang 53 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hàm số (fleft( x right)) có (f'left( x right) = 10x - {e^x}) với mọi (x in mathbb{R}). Biết (fleft( 0 right) = 1). Tính giá trị (fleft( 2 right)).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store