SBT Toán 7 - giải SBT Toán 7 - Cánh diều Bài tập cuối chương 7 - Cánh diều

Giải Bài 105 trang 99 sách bài tập toán 7 - Cánh diều


Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.

b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.

c) So sánh HB và HD.

d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh: ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

- Chứng minh: HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.

-  Chứng minh: HC > HD và HB = HC nên HB > HD.

- Chứng minh: HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC  và AH ⊥ BC suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

\(\hat A\) là góc chung,

Suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy ∆ADB = ∆AEC.

b) Vì ∆ADB = ∆AEC (chứng minh câu a)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng).

Ta có AB = AE + EB, AC = AD + DC.

Mà AB = AC, AE = AD.

Suy ra BE = CD.

Xét ∆EHB và ∆DHC có:

\(\widehat {HEB} = \widehat {H{\rm{D}}C}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BE = CD (chứng minh trên),

\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\))

Suy ra ∆EHB = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Do đó HE = HD, BH = CH (các cặp cạnh tương ứng).

Tam giác HDE có HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.

Vậy tam giác HDE là tam giác cân tại H.

c) Trong tam giác vuông HDC có HC > HD (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Mà HC = HB (chứng minh câu b)

Do đó HB > HD.

Vậy HB > HD.

d) • Gọi P là giao điểm của HI và BC.

Tam giác HBC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của tam giác HBC nên HP là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh H của tam giác.

Từ đó ta có PB = PC.

Xét ∆HBP và ∆HCP có:

HB = HC (chứng minh ở câu b),

HP là cạnh chung,

PB = PC (chứng minh trên)

Do đó ∆HBP = ∆HCP (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {HPB} + \widehat {HPC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Từ đó ta có HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC (1)

• Tam giác ABC có H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P

Hay ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, H, I thẳng hàng.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 7 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store