Giải Bài 102 trang 98 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.

Đề bài

Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng diện tích của ba tam giác GAB, GBC, GCA bằng nhau, hai tam giác bằng nhau để chứng minh AN là đường trung tuyến của tam giác ABC và CG cũng là trung tuyến của tam giác ABC

Lời giải chi tiết

Gọi N là giao điểm của AG và BC.

Kẻ BH ⊥ AN (H ∈ AN) và CK ⊥ AN (K ∈ AN).

• Ta có:

\({S_{\Delta GAB}} = \frac{{AG.BH}}{2},{S_{\Delta GCA}} = \frac{{AG.CK}}{2}\)

Mà \({S_{\Delta AGB}} = {S_{\Delta AGC}}\) nên \(\frac{{AG.BH}}{2} = \frac{{AG.CK}}{2}\)

Suy ra BH = CK.

•Xét DBHN và DCKN có

\(\widehat {BHN} = \widehat {CKN}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BH = CK (chứng minh trên),

\(\widehat {HNB} = \widehat {KNC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆BHN = ∆CKN (g.c.g)

Suy ra BN = CN (hai cạnh tương ứng)

Hay AN là đường trung tuyến của tam giác ABC.

•Chứng minh tương tự, ta có CG cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Tam giác ABC có AN, CG là hai đường trung tuyến cuả tam giác

Mà AN và CG cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải Bài 103 trang 98 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh:
Giải Bài 104 trang 99 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
Giải Bài 105 trang 99 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Giải Bài 106 trang 99 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
Giải Bài 101 trang 98 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Trong các hình 62a, 62b, 62c, 62d, hình nào có điểm cách đều các đỉnh của tam giác đó? Vì sao?
Giải Bài 100 trang 98 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = 110^\circ \). Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC lần lượt tại E và F. Khi đó, số đo góc EAF bằng:
Giải Bài 99 trang 98 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho hai tam giác ABC và MNP có \(\widehat {ACB} = \widehat {MPN}\), \(\widehat {ACB} = \widehat {MPN}\). Cần thêm một điều kiện để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc là: