Đề thi giữa kì 2 Toán 11 - Đề số 10
Đề thi giữa kì 2 Toán 11 - Đề số 10
Đề bài
Giả sử các biểu thức xuất hiện đã cho là có nghĩa. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
${(\sqrt[m]{a})}^{n} = \sqrt[m]{a^{n}}$.
-
B.
$\sqrt[m]{a}\sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{ab}$.
-
C.
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[{mn}]{a}$.
-
D.
$\sqrt[m]{a^{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$.
Với a là số thực dương tùy ý, biểu thức $a^{\dfrac{7}{2}}.a^{\dfrac{3}{2}}$ bằng
-
A.
$a^{\dfrac{{}^{5}}{9}}$.
-
B.
$a^{2}$.
-
C.
$a^{5}$.
-
D.
$a^{\dfrac{4}{3}}$.
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
-
A.
$y = \left( \dfrac{2024}{2025} \right)^{x}$.
-
B.
$y = \left( {0,5} \right)^{x}$.
-
C.
$y = \left( \sqrt{3} \right)^{x}$.
-
D.
$y = \left( \dfrac{1}{\text{π}} \right)^{x}$.
Cho a, b, x là các số thực dương và $a,b \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$.
-
B.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{b}x}{\log_{a}b}$.
-
C.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{b}a}{\log_{b}x}$.
-
D.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{a}b}{\log_{b}x}$.
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $\text{log}_{2}x = a$, $\text{log}_{2}y = b$. Giá trị của biểu thức $\text{log}_{2}\left( {x^{2}y^{3}} \right)$ bằng
-
A.
$6ab$.
-
B.
$a^{2}b^{3}$.
-
C.
$a^{2} + b^{3}$.
-
D.
$2a + 3b$.
Tập xác định $D$ của hàm số $y = \ln\left( {4 - 3x - x^{2}} \right)$ là
-
A.
$D = \left( {- 4\,;\, 1} \right)$.
-
B.
$D = \left( {- \infty\,;\, - 4} \right\rbrack \cup \left\lbrack {1\,;\, + \infty} \right)$.
-
C.
$D = \left( {- \infty\,;\, - 4} \right) \cup \left( {1\,;\, + \infty} \right)$.
-
D.
$D = \left\lbrack {- 4\,;\, 1} \right\rbrack$.
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa:
-
A.
Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng.
-
B.
Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng.
-
C.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
-
D.
Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng.
Cho điểm O và đường thẳng d. Số mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng d là
-
A.
2.
-
B.
1.
-
C.
0.
-
D.
3.
-
A.
B’C’.
-
B.
AB.
-
C.
C’D’.
-
D.
B’D’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và $SA\bot\left( {ABCD} \right)$.
Đường thẳng nào vuông góc mặt phẳng (SAD)?
-
A.
CD.
-
B.
BC.
-
C.
SB.
-
D.
SC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (minh hoạ như hình bên dưới).
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc nào sau đây?
-
A.
$\widehat{SBA}$.
-
B.
$\widehat{ABC}$.
-
C.
$\widehat{SBC}$.
-
D.
$\widehat{SCB}$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA\bot\left( {ABCD} \right)$ (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây là sai.
-
A.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {SBD} \right)$.
-
B.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {ABCD} \right)$.
-
C.
$\left( {SBC} \right)\bot\left( {SAB} \right)$.
-
D.
$\left( {SBC} \right)\bot\left( {SCD} \right)$.
Cho bất phương trình $\log_{0,3}\left( {2x + 1} \right) \leq \log_{0,3}(3x)$.
a) Tập xác định của bất phương trình là: $D = \left( {- \dfrac{1}{2}; + \infty} \right)$.
b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình: $2x + 1 \leq 3x$.
c) Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {0;1} \right\rbrack$.
d) $x = \dfrac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot(ABCD)$, $SA = 2a\sqrt{3}$, ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Khi đó:
a) Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là góc $60^{o}$.
b) $BD\bot\left( {SAC} \right)$.
c) $SA\bot AB$.
d) H là hình chiếu của A lên SB. $AH\bot BC$.
Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức \(S = A.{e^{r.t}}\). Trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số hằng năm là 0,93%. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người?
Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đếnxinben (viết tắt là dB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: $L(dB) = 10 \log \frac{I}{I_0}$ trong đó, $I$ là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, $I_0$ cường độ âm ở ngưỡng nghe ($I_0 = 10^{-12} , \text{W/m}^2$)
Hai cây đàn ghita giống nhau, cùng hòa tấu một bản nhạc. Mỗi chiếc đàn phát ra âm có mức cường độ âm trung bình là 60 dB. Hỏi mức cường độ âm tổng cộng do hai chiếc đàn cùng phát ra là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Một ngôi nhà có cấu trúc và một số kích thước được mô tả như như hình bên: Phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật với một mặt bên là BCHK phần trên có dạng hình lăng trụ đứng có một đáy là ABC, HE = 12 m, HK = 10 m, HC = 5 m. Biết rằng AB = AC và góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $120^{o}$. Thể tích của ngôi nhà, không tính phần mái đưa ra là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét khối)?
Lời giải và đáp án
Giả sử các biểu thức xuất hiện đã cho là có nghĩa. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
${(\sqrt[m]{a})}^{n} = \sqrt[m]{a^{n}}$.
-
B.
$\sqrt[m]{a}\sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{ab}$.
-
C.
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[{mn}]{a}$.
-
D.
$\sqrt[m]{a^{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$.
Đáp án : D
Dựa vào các công thức biến đổi căn bậc n.
$\sqrt[m]{a^{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ là khẳng định sai.
Với a là số thực dương tùy ý, biểu thức $a^{\dfrac{7}{2}}.a^{\dfrac{3}{2}}$ bằng
-
A.
$a^{\dfrac{{}^{5}}{9}}$.
-
B.
$a^{2}$.
-
C.
$a^{5}$.
-
D.
$a^{\dfrac{4}{3}}$.
Đáp án : C
Áp dụng tính chất của lũy thừa: \({x^a}.{x^b} = {x^{a + b}}\).
\({a^{\frac{7}{2}}}.{a^{\frac{3}{2}}} = {a^{\frac{7}{2} + \frac{3}{2}}} = {a^{\frac{{10}}{2}}} = {a^5}\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
-
A.
$y = \left( \dfrac{2024}{2025} \right)^{x}$.
-
B.
$y = \left( {0,5} \right)^{x}$.
-
C.
$y = \left( \sqrt{3} \right)^{x}$.
-
D.
$y = \left( \dfrac{1}{\text{π}} \right)^{x}$.
Đáp án : C
Hàm số mũ \(y = {a^x}\) đồng biến trên tập xác định khi a > 1.
Có \(\sqrt 3 > 1\) nên \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) đồng biến trên tập xác định.
Cho a, b, x là các số thực dương và $a,b \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$.
-
B.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{b}x}{\log_{a}b}$.
-
C.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{b}a}{\log_{b}x}$.
-
D.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{a}b}{\log_{b}x}$.
Đáp án : A
Sử dụng công thức đổi cơ số.
$\log_{a}x = \dfrac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$.
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $\text{log}_{2}x = a$, $\text{log}_{2}y = b$. Giá trị của biểu thức $\text{log}_{2}\left( {x^{2}y^{3}} \right)$ bằng
-
A.
$6ab$.
-
B.
$a^{2}b^{3}$.
-
C.
$a^{2} + b^{3}$.
-
D.
$2a + 3b$.
Đáp án : D
Áp dụng các tính chất logarit.
\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2}{y^3}} \right) = {\log _2}{x^2} + {\log _2}{y^3}\)
\(= 2{\log _2}x + 3{\log _2}y = 2a + 3b\).
Tập xác định $D$ của hàm số $y = \ln\left( {4 - 3x - x^{2}} \right)$ là
-
A.
$D = \left( {- 4\,;\, 1} \right)$.
-
B.
$D = \left( {- \infty\,;\, - 4} \right\rbrack \cup \left\lbrack {1\,;\, + \infty} \right)$.
-
C.
$D = \left( {- \infty\,;\, - 4} \right) \cup \left( {1\,;\, + \infty} \right)$.
-
D.
$D = \left\lbrack {- 4\,;\, 1} \right\rbrack$.
Đáp án : A
Giải bất phương trình ${4 - 3x - x^{2}} >0$, từ đó tìm được tập xác định của hàm số đã cho.
Hàm số $y = \ln\left( {4 - 3x - x^{2}} \right)$ xác định khi:
${4 - 3x - x^{2}} >0$
$\Leftrightarrow -4 < x < 1$.
Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là $D = \left( {- 4\,;\, 1} \right)$.
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa:
-
A.
Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng.
-
B.
Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng.
-
C.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
-
D.
Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng.
Đáp án : C
Dựa vào định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Cho điểm O và đường thẳng d. Số mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng d là
-
A.
2.
-
B.
1.
-
C.
0.
-
D.
3.
Đáp án : B
Dựa vào tính chất của đường thẳng và mặt phẳng vuông góc trong không gian.
Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng d.
-
A.
B’C’.
-
B.
AB.
-
C.
C’D’.
-
D.
B’D’.
Đáp án : A
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^o}\). Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường còn lại.
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên AB // A’B’, mà A’B’ vuông góc với B’C’ nên AB vuông góc với B’C’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và $SA\bot\left( {ABCD} \right)$.
Đường thẳng nào vuông góc mặt phẳng (SAD)?
-
A.
CD.
-
B.
BC.
-
C.
SB.
-
D.
SC.
Đáp án : A
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD)\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (minh hoạ như hình bên dưới).
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc nào sau đây?
-
A.
$\widehat{SBA}$.
-
B.
$\widehat{ABC}$.
-
C.
$\widehat{SBC}$.
-
D.
$\widehat{SCB}$.
Đáp án : A
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó lên (P).
Ta có $SA\bot\left( {ABC} \right)\left. \Rightarrow\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat{\text{S}BA} \right.$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA\bot\left( {ABCD} \right)$ (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây là sai.
-
A.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {SBD} \right)$.
-
B.
$\left( {SAC} \right)\bot\left( {ABCD} \right)$.
-
C.
$\left( {SBC} \right)\bot\left( {SAB} \right)$.
-
D.
$\left( {SBC} \right)\bot\left( {SCD} \right)$.
Đáp án : D
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Vì \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\) nên A đúng.
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên B đúng.
Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên C đúng.
Vậy khẳng định ở đáp án D sai.
Cho bất phương trình $\log_{0,3}\left( {2x + 1} \right) \leq \log_{0,3}(3x)$.
a) Tập xác định của bất phương trình là: $D = \left( {- \dfrac{1}{2}; + \infty} \right)$.
b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình: $2x + 1 \leq 3x$.
c) Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {0;1} \right\rbrack$.
d) $x = \dfrac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
a) Tập xác định của bất phương trình là: $D = \left( {- \dfrac{1}{2}; + \infty} \right)$.
b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình: $2x + 1 \leq 3x$.
c) Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {0;1} \right\rbrack$.
d) $x = \dfrac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Xét bất phương trình có dạng: \({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)\). Tìm TXĐ và giải:
- Với a > 1: BPT tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.\).
- Với 0 < a < 1: BPT tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) < g(x)\end{array} \right.\).
a) Sai. ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 0\\3x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{1}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).
Vậy \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
b) Sai. Vì 0,3 < 1 nên \(2x + 1 \ge 3x\).
c) Đúng. \(2x + 1 \ge 3x \Leftrightarrow x \le 1\). Kết hợp TXĐ suy ra tập nghiệm là S = (0; 1].
d) Đúng. \(x = \frac{1}{2} \in S\).
Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot(ABCD)$, $SA = 2a\sqrt{3}$, ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Khi đó:
a) Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là góc $60^{o}$.
b) $BD\bot\left( {SAC} \right)$.
c) $SA\bot AB$.
d) H là hình chiếu của A lên SB. $AH\bot BC$.
a) Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là góc $60^{o}$.
b) $BD\bot\left( {SAC} \right)$.
c) $SA\bot AB$.
d) H là hình chiếu của A lên SB. $AH\bot BC$.
Áp dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hình chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
c) Đúng. \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB\).
b) Đúng. \(\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\\AC \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot (SAC)\).
d) Đúng. H là hình chiếu của A lên SB, do đó \(AH \bot SB\) (1)
Ta có \(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot (SAB)\\AH \subset (SAB)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot AH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot BC\).
a) Sai. Vì \(\left. \begin{array}{l}AH \bot (SBC)\\H \in (SBC)\end{array} \right\} \Rightarrow H\) là hình chiếu của A lên (SBC).
Suy ra HC là hình chiếu của AC lên (SBC).
Ta có \(\left( {AC,(SBC)} \right) = \left( {AC,HC} \right) = \widehat {ACH}\).
Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 3 \).
\(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot HC \Rightarrow \Delta AHC\) vuông tại H. Ta có:
\(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{{2\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \widehat {ACH} \approx {38^o}\).
Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức \(S = A.{e^{r.t}}\). Trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số hằng năm là 0,93%. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người?
Thay số vào công thức đề bài cho để tính.
Ta có 93% = 0,0093.
Dân số nước ta sau t năm là: \(S = 98564407.{e^{0,0093t}}\).
Để dân số nước ta vượt 120 triệu người thì \(S > 120000000\)
\( \Leftrightarrow 98564407.{e^{0,0093t}} > 120000000 \Leftrightarrow t > 21,16\).
Vậy, kể từ năm 2021 + 22 = 2043 trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người.
Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đếnxinben (viết tắt là dB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: $L(dB) = 10 \log \frac{I}{I_0}$ trong đó, $I$ là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, $I_0$ cường độ âm ở ngưỡng nghe ($I_0 = 10^{-12} , \text{W/m}^2$)
Hai cây đàn ghita giống nhau, cùng hòa tấu một bản nhạc. Mỗi chiếc đàn phát ra âm có mức cường độ âm trung bình là 60 dB. Hỏi mức cường độ âm tổng cộng do hai chiếc đàn cùng phát ra là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Muốn xử lý bài toán này các em phải chú ý rằng khi dùng một chiếc đàn có cường độ của âm là $I_1$, thì khi ta dùng hai chiếc đàn cùng một lúc thì cường độ của âm là $2I_1$.
Mức cường độ âm do một chiếc đàn ghita phát ra là:
$L = 10 \log \frac{I}{I_0} = 60$ dB.
Mức cường độ âm đo hai chiếc đàn ghita cùng phát ra là:
$L_2 = 10 \log \frac{2I_1}{I_0} $
$= 10 \log 2 + 10 \log \frac{I_1}{I_0} $
$= 10\cdot \log 2 + 60 \approx 63$ dB.
Áp dụng quy tắc xác định góc nhị diện và định lý cosin cho tam giác để tính.
Giả sử hai mái ngói là hai hình chữ nhật OAA’O’ và OBB’O’. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OAA'O'} \right) \cap \left( {OBB'O'} \right) = OO'\\OA \bot OO',\,OA \subset \left( {OAA'O'} \right)\\OB \bot OO',\,OB \subset \left( {OBB'O'} \right)\end{array} \right.\) nên \(\widehat {AOB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,OO',B} \right]\). Vậy \(\widehat {AOB} = \alpha \).
Áp dụng định lý cosin cho tam giác OAB ta được:
\(\cos \widehat {AOB} = \cos \alpha = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} \)
\(= \frac{{2,{2^2} + {3^2} - 3,{8^2}}}{{2.2,2.3}} = - \frac{1}{{22}} \).
Vậy \(\widehat {AOB} \approx 92^o\).
Một ngôi nhà có cấu trúc và một số kích thước được mô tả như như hình bên: Phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật với một mặt bên là BCHK phần trên có dạng hình lăng trụ đứng có một đáy là ABC, HE = 12 m, HK = 10 m, HC = 5 m. Biết rằng AB = AC và góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $120^{o}$. Thể tích của ngôi nhà, không tính phần mái đưa ra là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét khối)?
Coi ngôi nhà là hình lăng trụ với một trong hai đáy là mặt phẳng (ABKHC). Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = Bh, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của lăng trụ.
Góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $\widehat{BAC} = 120^{o}$.
Gọi N là hình chiếu vuông góc của A trên mặt nền nhà, M là giao điểm của BC và AN.
Ta có $\widehat{BAM} = 60^{o}$ và $\left. BM = 5\Rightarrow\tan\widehat{BAM} = \dfrac{BM}{AM} \right.$
$\left. \Rightarrow AM = \dfrac{BM}{\tan\widehat{BAM}} = \dfrac{5}{\tan 60^{o}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \right.$.
Thể tích của ngôi nhà là:
$V = S_{ABKHC} \cdot HE = \left( {5 \cdot 10 + \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{3}} \right) \cdot 12 \approx 773$ $\left( {~m^{3}} \right)$.
Tìm điều kiện của các phương trình sau đó giải.
a) \({3^{\frac{1}{x}}} = 4\) (ĐK: \(x \ne 0\))
\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _4}3\) (TM).
Vậy phương trình có tập nghiệm \(x = {\log _4}3\).
b) \({2^{{x^2} - 3x}} = 4\)
\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x}} = {2^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x = 2\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \right\}\).
c) \({\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\) (ĐK: x > 3)
\( \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 3\)
\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 64\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + 2\sqrt {17} (TM) \\x = 1 - 2\sqrt {17} (L) \end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1 + 2\sqrt {17}\).
d) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}} \)
\(\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \)
\(\Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\).
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;3} \right]\).
e) \({(2 - \sqrt 3 )^x} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}} \)
\(\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}} \)
\(\Leftrightarrow - x \le x + 2 \)
\(\Leftrightarrow x \ge - 1\).
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
f) \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log (4x) \) (ĐK: x > 0)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} + 1 > 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {0 ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Áp dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Vì $OA\perp(OBC)$; $BC\in(OBC)$ nên $OA\perp CB$.
Ta có đường thẳng $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $OH$ và $OA$ cắt nhau cùng thuộc $(AOH)$ nên $BC\perp(OAH)$.
Mà tam giác $ABC$ có $B'C'$ là đường trung bình nên $B'C' \parallel BC$.
Suy ra $B'C'\perp(AOH)$.
Đề thi giữa kì 2 Toán 11 - Đề số 9
Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng
Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng
Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng. Với a là số thực khác 0 thì:
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho $a>0,m,n\in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n\in \mathbb{Z},n>0$. Ta có:
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Danh sách bình luận