Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 7
Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng
Đề bài
Cho a là một số dương, biểu thức \({a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.\sqrt a .\frac{1}{{{a^2}}}\) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
-
A.
\({a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}\)
-
B.
\({a^{\frac{{ - 10}}{{12}}}}\)
-
C.
\({a^{\frac{{ - 23}}{{12}}}}\)
-
D.
\({a^2}\)
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(a \ne 1\) và \({\log _a}b = 2\), giá trị của \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\frac{3}{2}\)
-
C.
\(\frac{1}{2}\)
-
D.
\(\frac{5}{2}\)
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là
-
A.
\(\left[ {1; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\mathbb{R}\)
-
D.
Một đáp án khác
Nghiệm của phương trình \({\log _3}(5x) = 2\) là
-
A.
\(x = \frac{8}{5}\)
-
B.
\(x = 9\)
-
C.
\(x = \frac{9}{5}\)
-
D.
\(x = 8\)
Bất phương trình \({9^{x + 1}} > {27^{2x + 1}}\) tương đương với
-
A.
\(x < 1\)
-
B.
\(x - 1 > 0\)
-
C.
\(x < - \frac{1}{4}\)
-
D.
\(x \ne 0\)
Cho các số thực x và y. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
-
A.
\({2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}\)
-
B.
\({\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{xy}}\)
-
C.
\(\frac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{x - y}}\)
-
D.
\({2^x}{.3^x} = {5^x}\)
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy là
-
A.
\(\widehat {SCB}\)
-
B.
\(\widehat {SAC}\)
-
C.
\(\widehat {SCA}\)
-
D.
\(\widehat {SBC}\)
Cho hình lập phương ABCS.A’B’C’D’. Số đo góc tạo bởi hai đường thẳng BD và CC’ bằng
-
A.
\({90^o}\)
-
B.
\({60^o}\)
-
C.
\({45^o}\)
-
D.
\({120^o}\)
Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD)\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Đường thẳng vuông góc với MN là
-
A.
AD
-
B.
SB
-
C.
CD
-
D.
SC
Tìm mệnh đề đúng.
-
A.
Hình hộp có đáy là hình chữ nhật
-
B.
Hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều
-
C.
Hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau
-
D.
Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông
Cho hình chóp.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hình chiếu vuông góc của DSCD lên mặt phẳng (ABCD) là
-
A.
\(\Delta ABC\)
-
B.
\(\Delta ACD\)
-
C.
\(\Delta SAD\)
-
D.
\(\Delta SBA\)
Trong không gian cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó \(a \bot (P)\). Mệnh đề nào sau đây sai?
-
A.
Nếu b // a thì \(b \bot (P)\)
-
B.
Nếu \(b \bot a\) thì b // (P)
-
C.
Nếu b // (P) thì \(b \bot a\)
-
D.
Nếu \(b \bot (P)\) thì b // a
Trong điện hóa học, phương trình Nernst là một mối quan hệ nhiệt động hóa học cho phép tính toán thế khử của phản ứng (phản ứng nửa pin hoặc toàn pin) từ thế điện cực chuẩn, nhiệt độ tuyệt đối, số electron tham gia vào phản ứng oxid hóa khử và hoạt động (thường xấp xỉ theo nồng độ) của các tiểu phân trải qua quá trình khử và oxy hóa tương ứng.
Phương trình Nernst có dạng tổng quát như sau\({E_0} = E + \frac{{RT}}{{nF}}.\left( {\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}} \right)\).
Cho biết F = 96485; R = 8,314; T = 298. Các đại lượng còn lại giữ nguyên kí hiệu.
a) Kí hiệu \(\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\) là logarit cơ số 10 của \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
b) Phương trình Nernst với số liệu trên có thể biến đổi thành một phương trình đơn hơn là \({E_0} = E + \frac{{0,0592}}{n}.\log \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
c) Với \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}} = 1\) thì \({E_0} = E\).
d) Phương trình Nernst có thể viết thành \({E_0} = E + \frac{{RT}}{{nF}}.\left( {\ln {C_{ox}} + \ln {C_{red}}} \right)\).
a) \(AD \bot (CDD'C')\).
b) Góc giữa hai đường thẳng A’D và DC’ là \({60^o}\).
c) \(OO' \bot (ABCD)\).
d) \(A'D \bot BB'\).
Nếu khối lượng carbon-14 trong cơ thể sinh vật lúc chết là \({M_0}\) (g) thì khối lượng carbon-14 còn lại (tính theo gam) sau t năm được tính theo công thức \(M(t) = {M_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{T}}}\) (g), trong đó T = 7530 (năm) là chu kì bán rã của carbon-14. Nghiên cứu hoá thạch của một sinh vật, người ta xác định được khối lượng carbon-14 hiện có trong hoá thạch là \({5.10^{ - 13}}\) g. Nhờ biết tỉ lệ khối lượng của carbon- 14 so với carbon- 12 trong cơ thể sinh vật sống, người ta xác định được khối lượng carbon-14 trong cơ thể lúc sinh vật chết là \({M_0} = 1,{2.10^{ - 12}}\) g. Sinh vật này sống cách đây bao nhiêu năm (làm tròn kết quả đến hàng trăm)?
Đáp án:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 1, AD = 2. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và SA = 1. Tính khoảng cách giữa AD và SB (tính chính xác đến hàng phần trăm).
Đáp án:
Cho các hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 5 cắt trục hoành, đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) lần lượt tại A, B và C. Biết rằng CB = 2AB và \(a = m{b^n}\) với m, n là các số nguyên dương. Tính \({m^2} + {n^2}\).
Đáp án:
Kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó (đơn vị đo góc là độ, làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Cho a là một số dương, biểu thức \({a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.\sqrt a .\frac{1}{{{a^2}}}\) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
-
A.
\({a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}\)
-
B.
\({a^{\frac{{ - 10}}{{12}}}}\)
-
C.
\({a^{\frac{{ - 23}}{{12}}}}\)
-
D.
\({a^2}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\), \(\sqrt[b]{{{x^a}}} = {x^{\frac{a}{b}}}\).
\({a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.\sqrt a .\frac{1}{{{a^2}}} = {a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{ - 2}} = {a^{\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{1}{2} - 2}} = {a^{\frac{{ - 23}}{{12}}}}\).
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \(a \ne 1\) và \({\log _a}b = 2\), giá trị của \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\frac{3}{2}\)
-
C.
\(\frac{1}{2}\)
-
D.
\(\frac{5}{2}\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức \({\log _{{a^m}}}b = \frac{1}{m}{\log _a}b\); \({\log _a}{b^m} = m{\log _a}b\); \({\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _a}c\).
\({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}a + \frac{1}{2}{\log _a}{b^2} = \frac{1}{2}{\log _a}a + 2.\frac{1}{2}{\log _a}b\)
\( = \frac{1}{2}{\log _a}a + {\log _a}b = \frac{1}{2}.1 + 2 = \frac{3}{2}\).
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là
-
A.
\(\left[ {1; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\mathbb{R}\)
-
D.
Một đáp án khác
Đáp án : B
Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha }\) là \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(\alpha \) không nguyên.
ĐKXĐ: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Vậy \(D = \left( {1; + \infty } \right)\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}(5x) = 2\) là
-
A.
\(x = \frac{8}{5}\)
-
B.
\(x = 9\)
-
C.
\(x = \frac{9}{5}\)
-
D.
\(x = 8\)
Đáp án : C
\({\log _a}x = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {a^b}\end{array} \right.\).
\({\log _3}(5x) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x > 0\\5x = {3^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = \frac{9}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}\).
Bất phương trình \({9^{x + 1}} > {27^{2x + 1}}\) tương đương với
-
A.
\(x < 1\)
-
B.
\(x - 1 > 0\)
-
C.
\(x < - \frac{1}{4}\)
-
D.
\(x \ne 0\)
Đáp án : C
Đưa hai vế về dạng lũy thừa có cùng cơ số.
\({9^{x + 1}} > {27^{2x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^{x + 1}} > {\left( {{3^3}} \right)^{2x + 1}} \Leftrightarrow {3^{2\left( {x + 1} \right)}} > {3^{3\left( {2x + 1} \right)}} \Leftrightarrow 2(x + 1) > 3(2x + 1) \Leftrightarrow 4x < - 1 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{4}\).
Cho các số thực x và y. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
-
A.
\({2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}\)
-
B.
\({\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{xy}}\)
-
C.
\(\frac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{x - y}}\)
-
D.
\({2^x}{.3^x} = {5^x}\)
Đáp án : D
Áp dụng tính chất của lũy thừa \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\); \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\); \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\); \({a^x}.{b^x} = {(a.b)^x}\).
\({2^x}{.3^x} = {(2.3)^x} = {6^x}\).
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy là
-
A.
\(\widehat {SCB}\)
-
B.
\(\widehat {SAC}\)
-
C.
\(\widehat {SCA}\)
-
D.
\(\widehat {SBC}\)
Đáp án : C
Tìm hình chiếu vuông góc của S trên (ABC).
Vì \(SA \bot (ABC)\) nên A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC).
Khi đó \(\left( {SC,(ABC)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Cho hình lập phương ABCS.A’B’C’D’. Số đo góc tạo bởi hai đường thẳng BD và CC’ bằng
-
A.
\({90^o}\)
-
B.
\({60^o}\)
-
C.
\({45^o}\)
-
D.
\({120^o}\)
Đáp án : A
Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).
Vì CC’ // BB’ nên \((BD,CC') = (BD,BB') = \widehat {B'BD}\).
Vì \(BB' \bot (ABCD)\) nên \(BB' \bot BD\) hay \(\widehat {B'BD} = {90^o}\).
Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và \(SA \bot (ABCD)\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Đường thẳng vuông góc với MN là
-
A.
AD
-
B.
SB
-
C.
CD
-
D.
SC
Đáp án : A
Chứng minh mặt phẳng chứa MN vuông góc với một trong số các đường thẳng ở đáp án rồi kết luận.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AD\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (SAB) \Rightarrow AD \bot MN\) (vì M, N thuộc (SAB)).
Tìm mệnh đề đúng.
-
A.
Hình hộp có đáy là hình chữ nhật
-
B.
Hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều
-
C.
Hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau
-
D.
Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông
Đáp án : D
Dựa vào định nghĩa hình hộp, hình lăng trụ đều, hình chóp đều, hình lập phương.
“Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông” là mệnh đề đúng.
A sai vì hình hộp có đáy là hình bình hành.
B sai vì hình lăng trụ đều có đáy là đa giác đều
C sai vì hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau.
Cho hình chóp.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hình chiếu vuông góc của DSCD lên mặt phẳng (ABCD) là
-
A.
\(\Delta ABC\)
-
B.
\(\Delta ACD\)
-
C.
\(\Delta SAD\)
-
D.
\(\Delta SBA\)
Đáp án : B
Tìm hình chiếu vuông góc của các điểm S, C, D lên (ABCD).
Hình chiếu vuông góc của các điểm S, C, D lên mặt phẳng (ABCD) lần lượt là A, C, D.
Suy ra hình chiếu vuông góc của DSCD lên mặt phẳng (ABCD) là DACD.
Trong không gian cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó \(a \bot (P)\). Mệnh đề nào sau đây sai?
-
A.
Nếu b // a thì \(b \bot (P)\)
-
B.
Nếu \(b \bot a\) thì b // (P)
-
C.
Nếu b // (P) thì \(b \bot a\)
-
D.
Nếu \(b \bot (P)\) thì b // a
Đáp án : B
Áp dụng liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song.
B sai vì nếu \(b \bot a\) thì b // (P) hoặc b thuộc (P).
Trong điện hóa học, phương trình Nernst là một mối quan hệ nhiệt động hóa học cho phép tính toán thế khử của phản ứng (phản ứng nửa pin hoặc toàn pin) từ thế điện cực chuẩn, nhiệt độ tuyệt đối, số electron tham gia vào phản ứng oxid hóa khử và hoạt động (thường xấp xỉ theo nồng độ) của các tiểu phân trải qua quá trình khử và oxy hóa tương ứng.
Phương trình Nernst có dạng tổng quát như sau\({E_0} = E + \frac{{RT}}{{nF}}.\left( {\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}} \right)\).
Cho biết F = 96485; R = 8,314; T = 298. Các đại lượng còn lại giữ nguyên kí hiệu.
a) Kí hiệu \(\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\) là logarit cơ số 10 của \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
b) Phương trình Nernst với số liệu trên có thể biến đổi thành một phương trình đơn hơn là \({E_0} = E + \frac{{0,0592}}{n}.\log \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
c) Với \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}} = 1\) thì \({E_0} = E\).
d) Phương trình Nernst có thể viết thành \({E_0} = E + \frac{{RT}}{{nF}}.\left( {\ln {C_{ox}} + \ln {C_{red}}} \right)\).
a) Kí hiệu \(\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\) là logarit cơ số 10 của \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
b) Phương trình Nernst với số liệu trên có thể biến đổi thành một phương trình đơn hơn là \({E_0} = E + \frac{{0,0592}}{n}.\log \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
c) Với \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}} = 1\) thì \({E_0} = E\).
d) Phương trình Nernst có thể viết thành \({E_0} = E + \frac{{RT}}{{nF}}.\left( {\ln {C_{ox}} + \ln {C_{red}}} \right)\).
Thay số và áp dụng các công thức biến đổi logarit.
a) Sai. Kí hiệu \(\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\) là logarit cơ số e của \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
b) Sai. \({E_0} = E + \frac{{8,314.298}}{{n.96485}}.\left( {\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}} \right) \Leftrightarrow {E_0} = E + \frac{{2477572}}{{n.96485000}}.\left( {\frac{{\log \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}}}{{\log e}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {E_0} = E + \frac{{2477572}}{{n.96485000}}.\log e.\log \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}} \Leftrightarrow {E_0} = E + \frac{{2477572}}{{n.96485000}}.\frac{1}{{\log e}}.\log \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\)
\( \Leftrightarrow {E_0} = E + \frac{{0,0591}}{n}.\log \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}\).
c) Đúng. Với \(\frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}} = 1\), ta có \({E_0} = E + \frac{{8,314.298}}{{n.96485}}.\left( {\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}} \right) = E + \frac{{8,314.298}}{{n.96485}}.\ln 1 = E + \frac{{8,314.298}}{{n.96485}}.0 = E\).
d) Sai. \({E_0} = E + \frac{{RT}}{{nF}}.\left( {\ln \frac{{{C_{ox}}}}{{{C_{red}}}}} \right) \Leftrightarrow {E_0} = E + \frac{{RT}}{{nF}}.\left( {\ln {C_{ox}} - \ln {C_{red}}} \right)\).
a) \(AD \bot (CDD'C')\).
b) Góc giữa hai đường thẳng A’D và DC’ là \({60^o}\).
c) \(OO' \bot (ABCD)\).
d) \(A'D \bot BB'\).
a) \(AD \bot (CDD'C')\).
b) Góc giữa hai đường thẳng A’D và DC’ là \({60^o}\).
c) \(OO' \bot (ABCD)\).
d) \(A'D \bot BB'\).
Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
a) Đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot DC\\AD \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (CDD'C')\).
b) Đúng. Ta có A’D = DC’ = A’C’ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau) nên A’DC’ là hình tam giác đều, hay \(\widehat {A'DC'} = {60^o}\).
Vậy \((A'D,DC') = \widehat {A'DC'} = {60^o}\).
c) Đúng. Dễ thấy mặt phẳng (ACC’A’) là hình chữ nhật có O là trung điểm của AC, O’ là trung điểm của A’C’. Khi đó OO’ // AA’ và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).
d) Sai. \((A'D,BB') = (A'D,DD') = \widehat {A'DD'} = {45^o}\).
Nếu khối lượng carbon-14 trong cơ thể sinh vật lúc chết là \({M_0}\) (g) thì khối lượng carbon-14 còn lại (tính theo gam) sau t năm được tính theo công thức \(M(t) = {M_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{T}}}\) (g), trong đó T = 7530 (năm) là chu kì bán rã của carbon-14. Nghiên cứu hoá thạch của một sinh vật, người ta xác định được khối lượng carbon-14 hiện có trong hoá thạch là \({5.10^{ - 13}}\) g. Nhờ biết tỉ lệ khối lượng của carbon- 14 so với carbon- 12 trong cơ thể sinh vật sống, người ta xác định được khối lượng carbon-14 trong cơ thể lúc sinh vật chết là \({M_0} = 1,{2.10^{ - 12}}\) g. Sinh vật này sống cách đây bao nhiêu năm (làm tròn kết quả đến hàng trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Thay các giá trị từ đề bài vào công thức đã cho. Áp dụng quy tắc biến đổi phương trình mũ và phương trình logarit.
\({5.10^{ - 13}} = 1,{2.10^{ - 12}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow \frac{t}{{5730}} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{{12}} \Leftrightarrow t = 5730{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{{12}} \approx 7200\) (năm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 1, AD = 2. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và SA = 1. Tính khoảng cách giữa AD và SB (tính chính xác đến hàng phần trăm).
Đáp án:
Đáp án:
Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.
Kẻ \(AH \bot SB\), H thuộc SB.
Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên \(SA \bot AD\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot SA\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (SAB) \Rightarrow AD \bot AH\).
Do đó, AH là đoạn vuông góc chung của SB và AD.
Xét tam giác SAB vuông tại A có đường cao AH:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 \Leftrightarrow A{H^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0,71\).
Vậy \(d\left( {AD,SB} \right) = AH \approx 0,71\).
Cho các hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 5 cắt trục hoành, đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) lần lượt tại A, B và C. Biết rằng CB = 2AB và \(a = m{b^n}\) với m, n là các số nguyên dương. Tính \({m^2} + {n^2}\).
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng các phép biến đổi logarit \({\log _a}b = \frac{a}{{{{\log }_b}a}}\); \(m{\log _a}b = {\log _a}{b^m}\).
Ta có \(CB = 2AB \Leftrightarrow CB + BA = 3BA \Leftrightarrow CA = 3BA\)
\( \Leftrightarrow {\log _b}5 = 3{\log _a}5 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_5}b}} = \frac{3}{{{{\log }_5}a}} \Leftrightarrow {\log _5}a = 3{\log _5}b \Leftrightarrow {\log _5}a = {\log _5}{b^3} \Leftrightarrow a = {b^3}\).
Vậy m = 1, n = 3. Suy ra \({m^2} + {n^2} = {1^2} + {3^2} = 10\).
Kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó (đơn vị đo góc là độ, làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án:
Đáp án:
Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều. Xác định góc nhị diện và áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy.
Khi đó AB = 180 m, SO = 98 m.
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên tam giác SBC cân tại S. Khi đó, \(SM \bot BC\).
Dễ thấy tam giác OBC cân tại O nên \(OM \bot BC\).
Do đó, góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là \([S,BC,O] = (MO,MS) = \widehat {SMO}\).
OM là đường trung bình của ΔBCD nên \(OM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}.180 = 90\) (m).
Xét ΔSMO vuông tại O, có: \(\tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{98}}{{90}} \Rightarrow \widehat {SMO} \approx 47,{4^o}\).
Áp dụng các công thức biến đổi logarit \({\log _a}b = \frac{a}{{{{\log }_b}a}}\); \(m{\log _a}b = {\log _a}{b^m}\); \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\).
\({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}{3^2}.5}}{{{{\log }_2}2.3}} = \frac{{{{\log }_2}{3^2} + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}}\)
\( = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{2a + \frac{a}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{2ab + a}}{{b(1 + a)}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}\).
Xác định hình chiếu vuông góc của AC lên mặt phẳng (ABB’A).
Gọi M là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC đều nên CM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ABC.
Ta có ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng nên \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot CM\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot CM\\AB \bot CM\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot (AA'B'B)\).
Mà M thuộc (AA’B’B) nên M là hình chiếu vuông góc của C lên (AA’B’B).
Do đó, AM là hình chiếu vuông góc của AC lên (AA’B’B).
Vậy góc giữa AC và mặt phẳng (AA’B’B) là \(\widehat {CAM} = {60^o}\) (vì tam giác ABC đều).
Thay số từ dữ kiện của đề bài vào công thức \(f(t) = A.{e^{rt}}\), tính r. Từ r, tính thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.
Số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con nên:
\(f(10) = 5000 \Leftrightarrow 1000.{e^{10r}} = 5000 \Leftrightarrow {e^{10r}} = 5 \Leftrightarrow 10r = \ln 5 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 5}}{{10}}\).
Số vi khuẩn tăng gấp 10 lần sẽ được 1000.10 = 10000 con. Ta có:
\(f(t) = 10000 \Leftrightarrow 1000.{e^{\frac{{\ln 5}}{{10}}t}} = 10000 \Leftrightarrow {e^{\frac{{\ln 5}}{{10}}t}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{\ln 5}}{{10}}t = \ln 10 \Leftrightarrow t = \frac{{10\ln 10}}{{\ln 5}} \approx 14,3\) (giờ).
Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng
Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Chọn đáp án đúng. Với a là số thực khác 0 thì:
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho $a>0,m,n\in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n\in \mathbb{Z},n>0$. Ta có:
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
