SGK Toán lớp 10 Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.

Bài 6 trang 106 SGK Đại số 10


Đề bài

Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số để chứng minh bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a + b}}{c} + \dfrac{{b + c}}{a} + \dfrac{{c + a}}{b} \\= \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b}} \right)\\
= \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right).
\end{array}\)

Áp dụng bđt Cô – si cho hai số dương

\(\dfrac{a}{c}\) và \(\dfrac{c}{a}\) ta có: \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}  = 2.\sqrt 1  = 2\)

\(\dfrac{b}{a}\) và \(\dfrac{a}{b}\) ta có: \(\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}}  = 2.\sqrt 1  = 2\)

\(\dfrac{c}{b}\) và \(\dfrac{b}{c}\) ta có: \(\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}}  = 2.\sqrt 1  = 2\)

Cộng vế với vế các bđt ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right)\\ \ge 2 + 2 + 2 = 6\\ \Rightarrow dpcm\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{a}\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}\\\dfrac{c}{b} = \dfrac{b}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {c^2}\\{b^2} = {a^2}\\{c^2} = {b^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow a = b = c\) (do \(a,b,c > 0\))

Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 14 phiếu
Bài tiếp theo

Các bài liên quan: - Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store
Hỏi bài

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua