Giải bài 6 trang 106 SGK Đại số 10. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
Đề bài
Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)
Video hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số để chứng minh bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a + b}}{c} + \dfrac{{b + c}}{a} + \dfrac{{c + a}}{b} \\= \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b}} \right)\\
= \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right).
\end{array}\)
Áp dụng bđt Cô – si cho hai số dương
\(\dfrac{a}{c}\) và \(\dfrac{c}{a}\) ta có: \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}} = 2.\sqrt 1 = 2\)
\(\dfrac{b}{a}\) và \(\dfrac{a}{b}\) ta có: \(\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}} = 2.\sqrt 1 = 2\)
\(\dfrac{c}{b}\) và \(\dfrac{b}{c}\) ta có: \(\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}} = 2.\sqrt 1 = 2\)
Cộng vế với vế các bđt ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right)\\ \ge 2 + 2 + 2 = 6\\ \Rightarrow dpcm\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{a}\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}\\\dfrac{c}{b} = \dfrac{b}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {c^2}\\{b^2} = {a^2}\\{c^2} = {b^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow a = b = c\) (do \(a,b,c > 0\))
Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)
Loigiaihay.com
>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu
Lớp 12
