
Đề bài
Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số để chứng minh bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a + b}}{c} + \dfrac{{b + c}}{a} + \dfrac{{c + a}}{b} \\= \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b}} \right)\\
= \left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right).
\end{array}\)
Áp dụng bđt Cô – si cho hai số dương
\(\dfrac{a}{c}\) và \(\dfrac{c}{a}\) ta có: \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}} = 2.\sqrt 1 = 2\)
\(\dfrac{b}{a}\) và \(\dfrac{a}{b}\) ta có: \(\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}} = 2.\sqrt 1 = 2\)
\(\dfrac{c}{b}\) và \(\dfrac{b}{c}\) ta có: \(\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}} = 2.\sqrt 1 = 2\)
Cộng vế với vế các bđt ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c}} \right)\\ \ge 2 + 2 + 2 = 6\\ \Rightarrow dpcm\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{a}\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}\\\dfrac{c}{b} = \dfrac{b}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {c^2}\\{b^2} = {a^2}\\{c^2} = {b^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow a = b = c\) (do \(a,b,c > 0\))
Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.\)
Loigiaihay.com
Giải bài 7 trang 107 SGK Đại số 10. Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương?
Giải bài 8 trang 107 SGK Đại số 10. Nêu quy tắc giải bất phương trình ax+by ≤ c
Giải bài 9 trang 107 SGK Đại số 10. Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Giải bài 10 trang 107 SGK Đại số 10. Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:
Giải bài 11 trang 107 SGK Đại số 10. Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: x(x3 – x + 6) > 9
Giải bài 12 trang 107 SGK Đại số 10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng:
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải bài 14 trang 107 SGK Đại số 10. Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:
Bất phương trình (x+1) √x ≤ 0 tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
Giải bài 16 trang 108 SGK Đại số 10. Bất phương trình : mx2+(2m-1)x+m+1<0 có nghiệm khi:
Giải bài 17 trang 108 SGK Đại số 10. Chỉ ra hệ bất phương trình nào vô nghiệm trong các hệ bất phương trình sau:
Giải bài 5 trang 106 SGK Đại số 10. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số:
Giải bài 4 trang 106 SGK Đại số 10. Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là P = 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào.
Giải bài 3 trang 106 SGK Đại số 10. Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?
Giải bài 2 trang 106 SGK Đại số 10. Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết:
Giải bài 1 trang 106 SGK Đại số 10. Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau:
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: