Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.

Bài 12 trang 107 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: \(a + b + c > 0,\;\;\left| {a - c} \right| < b < a + c.\)

Lời giải chi tiết

Biệt thức của tam thức vế trái:

\({\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right)}^2}-{\rm{ }}4{b^2}{c^2}}\)

\( = {\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^{2}} + {\rm{ }}2bc} \right).\)\({\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2} - 2bc} \right)\)

\({ = {\rm{ }}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]}\)

\( = {\rm{ }}\left( {b + a + c} \right).\left( {b + c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right).\)\(\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c + a} \right).\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right){\rm{ }} \)

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

b < c + a ⇒ b – c – a < 0

c < a + b ⇒ b – c + a > 0

a < b + c ⇒ b + c – a > 0

a, b, c > 0 ⇒ a + b + c > 0

⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b² ∀x hay f(x) > 0 ∀x .

Nghĩa là: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Bình chọn:

4 trên 14 phiếu

Bài tiếp theo

Các bài liên quan: - Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.

Bài 13 trang 107 SGK Đại số 10
Giải bài 13 trang 107 SGK Đại số 10. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 14 trang 107 SGK Đại số 10
Giải bài 14 trang 107 SGK Đại số 10. Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:
Bài 15 trang 108 SGK Đại số 10
Giải bài 15 trang 108 SGK Đại số 10. Bất phương trình (x+1) √x ≤ 0 tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
Bài 16 trang 108 SGK Đại số 10
Giải bài 16 trang 108 SGK Đại số 10. Bất phương trình : mx2+(2m-1)x+m+1<0 có nghiệm khi:
Bài 17 trang 108 SGK Đại số 10
Giải bài 17 trang 108 SGK Đại số 10. Chỉ ra hệ bất phương trình nào vô nghiệm trong các hệ bất phương trình sau:
Bài 11 trang 107 SGK Đại số 10
Giải bài 11 trang 107 SGK Đại số 10. Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: x(x3 – x + 6) > 9
Bài 10 trang 107 SGK Đại số 10
Giải bài 10 trang 107 SGK Đại số 10. Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:
Bài 9 trang 107 SGK Đại số 10
Giải bài 9 trang 107 SGK Đại số 10. Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Bài 8 trang 107 SGK Đại số 10
Giải bài 8 trang 107 SGK Đại số 10. Nêu quy tắc giải bất phương trình ax+by ≤ c
Bài 7 trang 107 SGK Đại số 10
Giải bài 7 trang 107 SGK Đại số 10. Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương?
Bài 6 trang 106 SGK Đại số 10
Giải bài 6 trang 106 SGK Đại số 10. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
Bài 5 trang 106 SGK Đại số 10
Giải bài 5 trang 106 SGK Đại số 10. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số:
Bài 4 trang 106 SGK Đại số 10
Giải bài 4 trang 106 SGK Đại số 10. Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là P = 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào.
Bài 3 trang 106 SGK Đại số 10
Giải bài 3 trang 106 SGK Đại số 10. Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?
Bài 2 trang 106 SGK Đại số 10
Giải bài 2 trang 106 SGK Đại số 10. Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết:
Bài 1 trang 106 SGK Đại số 10
Giải bài 1 trang 106 SGK Đại số 10. Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau: