Bài 9 trang 17 SGK Hình học 10


Giải bài 9 trang 17 SGK Hình học 10. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC như hình vẽ.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{B_1}//AB \Rightarrow \widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {ABC} = {60^0}\\
M{C_2}//AC \Rightarrow \widehat {M{C_2}{B_1}} = \widehat {ACB} = {60^0}
\end{array}\)

Tam giác \(M{B_1}{C_2}\) có \(\widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {M{C_2}{B_1}} = {60^0}\) nên là tam giác đều.

Tương tự các tam giác MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều.

Ta lại có MD B1C2 nên MD cũng là trung tuyến.

Do đó D là trung điểm của cạnh B1C2

Ta có 2 = 

Tương tự: 2 = 

               2 = +

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {MF} \\
= \left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{A_1}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right)
\end{array}\)

=> 2( ++)

= (+)

+ ( + )

+ (+)

Tứ giác \(M{A_1}A{A_2}\) là hình bình hành nên

  = 

Tương tự: + = 

                 + = 

=> 2( ++) = ++

Vì O là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì nên

 ++ = 3.

Cuối cùng ta có: 

2( ++) = 3;

=>  ++ = 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 67 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài