Toán lớp 10

Bài 3. Tích của vectơ với một số

Bài 8 trang 17 SGK Hình học 10

Bình chọn:

4.6 trên 35 phiếu

Giải bài 8 trang 17 SGK Hình học 10. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Xem thêm: Bài 3. Tích của vectơ với một số

Đề bài

Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 (1) \cr
& \cr} \)

Gọi \(G\) là trong tâm của tam giác \(MPR\), ta có:

\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\)

Mặt khác :

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} \)\( + \overrightarrow {GS} (3)\)

Từ (1),(2), (3) suy ra: \(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)

loigiaihay.com

Bài tiếp theo

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Các bài liên quan: - Bài 3. Tích của vectơ với một số

Bài 9 trang 17 SGK Hình học 10

Giải bài 9 trang 17 SGK Hình học 10. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.

Xem chi tiết