Bài 8 trang 17 SGK Hình học 10


Giải bài 8 trang 17 SGK Hình học 10. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Đề bài

Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có:        

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0  \cr} \)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 (2)\)

Mặt khác : 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG} } \right)  \) \( + (\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS}) \)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \) \( = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

(vì \(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG}  \) \(=  - \overrightarrow {GM}  - \overrightarrow {GP}  - \overrightarrow {GR}  \) \(=  - \left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0 \))

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}\) \(  = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

Mà \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) nên 

\(\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)

Cách khác:

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \( \Rightarrow \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 \)

Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \( \Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Thật vậy ta có:

\(\begin{array}{l}2\left( {\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GN}  + 2\overrightarrow {GQ}  + 2\overrightarrow {GS} \\ = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {GE} } \right) + \left( {\overrightarrow {GF}  + \overrightarrow {GA} } \right)\end{array}\)

(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {GE}  + \overrightarrow {GF} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GM}  + 2\overrightarrow {GP}  + 2\overrightarrow {GR} \end{array}\)

(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right)\\ = 2\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Do đó G cũng là trọng tâm của ΔNQS.

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 41 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài