Bài 8 trang 17 SGK Hình học 10


Đề bài

Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có:        

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0  \cr} \)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 (2)\)

Mặt khác : 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG} } \right)  \) \( + (\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS}) \)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \) \( = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

(vì \(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG}  \) \(=  - \overrightarrow {GM}  - \overrightarrow {GP}  - \overrightarrow {GR}  \) \(=  - \left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0 \))

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}\) \(  = \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} \)

Mà \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) nên 

\(\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)

Cách khác:

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \( \Rightarrow \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 \)

Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \( \Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Thật vậy ta có:

\(\begin{array}{l}2\left( {\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GN}  + 2\overrightarrow {GQ}  + 2\overrightarrow {GS} \\ = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {GE} } \right) + \left( {\overrightarrow {GF}  + \overrightarrow {GA} } \right)\end{array}\)

(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {GE}  + \overrightarrow {GF} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GM}  + 2\overrightarrow {GP}  + 2\overrightarrow {GR} \end{array}\)

(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right)\\ = 2\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Do đó G cũng là trọng tâm của ΔNQS.

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 49 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.